résumé du cours d'analyse complexe / Fiche résumée du cours d'analyse complexe et harmonique
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mots clefs: smp, smp s3, smp3, analyse 3.
contenu:
1 Formule de Cauchy, intégration complexe
Taille du fichier : 327 KB
Nombre de pages : 12
Date de publication : 20/11/2018
id=1171
mots clefs: smp, smp s3, smp3, analyse 3.
contenu:
1 Formule de Cauchy, intégration complexe
1.1 Etude des fonctions holomorphes
1.2 Théorème de Cauchy
1.3 Formule de Cauchy homotope
1.4 Formule de la moyenne
1.5 Analyticité des fonctions holomorphes
1.5.1 Développement en série entière
1.5.2 Théorème de Liouville
1.5.3 Formule de Cauchy homologique
1.5.4 Principe des zéros isolés
1.6 Fonctions holomorphes et C-dérivabilité
2 Théorème de représentation conforme (géométrie de C)
2.1 Lemme de Schwarz et automorphisme conforme du disque
2.1.1 Lemme de Schwarz
2.1.2 Automorphisme conforme du disque
2.2 Théorème de representation de Riemann
2.2.1 Notion de compacité
2.2.2 Théorème de représentation conforme
3 Singularités isolées
3.1 Développement de Laurent
3.1.1 Foncions holomorphes sur une couronne
3.1.2 Classi cation des singularités
3.1.3 Singularité à l'in ni
3.2 Fonctions méromorphes et théorème des résidus
3.2.1 Exemples de calculs d'intégrales
3.3 Singularités essentielles et théorème de Picard
3.3.1 Version géométrique du lemme de Schwarz
3.3.2 Théorème de Liouville et Théorème de Picard
3.3.3 Théorème de Picard
4 Approximation rationnelle
4.1 Approximation polynômiale et rationnelle
4.1.1 Formule de Cauchy "Uniforme"
4.1.2 Théorème de Runge
4.1.3 Approximations polynômiales
4.2 localisation des zéros d'une fonction holomorphe
4.2.1 Produits nis
4.2.2 preuve du théorème de Weierstrass
4.2.3 Corps des fonctions méromorphes
4.3 Localisation des pôles d'une fonction méromorphe
4.3.1 Théorème de Mittag-Leffer
4.3.2 Un problème d'interpolation
5 Fonctions harmoniques
5.1 Harmonicité et holomorphie
5.1.1 Régularité C∞ des fonctions harmoniques
5.1.2 Analyticité des fonctions harmoniques
5.1.3 Formule de la moyenne
5.2 Formule de Poisson
5.2.1 Noyau de Poisson
5.2.2 Inégalités de Cauchy
5.3 Problème de Dirichlet
5.3.1 Intégrales de Poisson sur B = B(0, 1)
5.3.2 Cas des domaines de Jordan
5.3.3 Harmonicité et formule de la moyenne
6 Fonctions sous-harmoniques
6.1 Principe du maximum, propriété du majorant harmonique
6.1.1 Principe du maximum
6.1.2 Propriété du majorant harmonique
6.1.3 Théorème de Hadamard
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programme de ce module:
Module 19 : Analyse 3 ( SMP) (Cours 21; TD 21)
1-Fonctions holomorphes
Fonction complexes,
Fonctions holomorphes,
Condition de Cauchy-Riemann,
Intégrale de Cauchy, Formule de Cauchy,
Théorème des résidus,
Etude et représentation d’exemples de fonctions holomorphes.
2- Calcul vectoriel et intégral
3-Transformée de Fourier et Transformée de Laplace
4- Produit de convolution et distribution de Dirac
5- Equations différentielles particulières
Equation de la chaleur
Equation des ondes
