cours calcul differentiel sma s5 2010

cours calcul differentiel sma s5 2010

Cours de calcul différentiel
Licence de mathématiques, 3ème année
Raphaël Danchin
23 novembre 2010

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Table des matières
1 Fonctions de plusieurs variables
1.1 Quelques notations
1.2 Continuité
1.2.1 Généralités
1.2.2 Applications linéaires continues
1.2.3 Applications multilinéaires continues
1.3 Dérivées directionnelles et dérivées partielles
2 Différentiabilité
2.1 Définition de la différentiabilité
2.2 Propriétés classiques
2.3 La notation différentielle et les changements de variables
3 L’inégalité des accroissements finis
3.1 Le cas d’une fonction numérique d’une variable réelle
3.2 Le théorème des accroissements finis pour les fonctions de plusieurs variables
3.3 Quelques applications de l’inégalité des accroissements finis
4 Différentielles d’ordre supérieur
4.1 Définitions
4.2 Dérivées partielles d’ordre supérieur
4.3 Formules de Taylor
4.3.1 Formule de Taylor avec reste intégral
4.3.2 Formule de Taylor-Lagrange
4.3.3 Formule de Taylor-Young
5 Problèmes d’extrema
5.1 Définitions
5.2 Résultats liés à la compacité
5.3 Cas des fonctions deux fois différentiables
5.4 Conditions d’extrema dans le cas convexe
5.4.1 Résultats de convexité pour les fonctions d’une seule variable
5.4.2 Résultats de convexité pour les fonctions de plusieurs variables
5.4.3 Extrema des fonctions convexes
5.5 Exemple d’étude d’extrema
6 Fonctions implicites et inversion locale
6.1 Le théorème du point fixe
6.2 Le théorème des fonctions implicites
6.3 Extrema sous contraintes
6.3.1 Le cas d’une seule contrainte
6.3.2 Le cas de plusieurs contraintes
6.3.3 Le cas convexe
6.4 Théorèmes d’inversion
6.5 Un peu de géométrie différentielle
6.5.1 Les hypersurfaces
6.5.2 Application à la dimension 2
6.5.3 Application à la dimension 3
7 Introduction aux formes différentielles
7.1 Quelques éléments d’algèbre extérieure
7.1.1 Définitions
7.1.2 Représentation des formes k-linéaires alternées
7.1.3 Opérations sur Λk(E)
7.2 Formes différentielles
7.2.1 Définitions
7.2.2 Changements de variables et transposition
7.2.3 Formes exactes et formes fermées
Bibliographie

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programme de ce module:
M29 : Module de calcul differentiel
Partie I : Espaces vectoriels normés et espaces de Banach
- Définition et exemples d’espaces vectoriels normés
- Espaces vectoriels normés de dimension finie
- Applications linéaires continues
- Applications multilinéaires continues
- Définition et exemples d’espaces de Banach
- Séries dans les espaces vectoriels normés et caractérisation de la complétude
Partie II : Calcul différentiel dans les espaces de Banach
- Définition et exemples d’applications différentiables
- Différentielle de la composée
- Différentielle d’une application à valeurs dans un espace produit
- Différentielle d’une application définie sur un espace produit, différentielle
partielle
- Théorème des accroissements finis et ses applications
- Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale
- Différentielle d’ordre supérieur
- Formules de Taylor
- Extremum