cours analyse 5 sma s3:Fonctions de Plusieurs Variables / UCBL1

cours analyse 5 sma s3:Fonctions de Plusieurs Variables / UCBL1

Université Claude Bernard, Lyon I
43, boulevard 11 novembre 1918
69622 Villeurbanne cedex, France

Licence Sciences, Technologies & Santé
Spécialité Mathématiques
L. Pujo-Menjouet
pujo@math.univ-lyon1.fr

Cours d’Analyse 3
Fonctions de plusieurs variables

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Table des matières
1 Notion de topologie dans Rn
1.1 Espaces métriques, distance
1.2 Normes des espaces vectoriels
1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée
1.4 Ouverts et fermés
1.5 Position d’un point par rapport à une partie de E
1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé
1.7 Ensemble compact
1.8 Ensemble convexe
1.9 HORS PROGRAMME : Applications d’une e.v.n. vers un e.v.n
1.9.1 Généralités
1.9.2 Opérations sur les fontions continues
1.9.3 Extension de la définition de la continuité
1.9.4 Cas des espaces de dimension finie
1.9.5 Notion de continuité uniforme
1.9.6 Applications linéaires continues
2 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité
2.1 Fonctions réelles de variable réelle
2.2 Notion de limite
2.3 Fonctions continues
2.4 Coordonnées polaires
2.5 Continuité sur un compact
2.6 Théorème des valeurs intermédiaires
3 Calcul différentiel
3.1 Dérivées partielles
3.2 Opérateurs différentiels classiques
3.2.1 Gradient
3.2.2 Divergence
3.2.3 Rotationnel
3.3 Propriétés des dérivées partielles
3.4 Notion de différentiabilité
3.5 Opérations sur les fonctions différentiables
3.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables
3.6.1 Gradient et ligne de niveau
3.6.2 Le gradient indique la ligne de plus grande pente
3.6.3 Plan tangent à un graphe d’une fonction de 2 variables
4 Théorème des accroissements finis
4.1 Fonction d’une variable réelle à valeurs réelles
4.2 Fonction d’une valeur sur un espace Rp et à valeurs réelles
4.3 Fonction d’une variable réelle
4.4 Théorème général
4.5 Application
5 Difféomorphismes
5.1 Introduction
5.2 Théorème d’inversion locale
5.3 Théorème des fonctions implicites
6 Formules de Taylor
6.1 Applications deux fois différentiables
6.2 Exemples de différentielles d’ordre 2
6.3 Matrice Hessienne
6.4 Différentielle d’ordre k
6.5 Formule de Taylor avec reste intégral
6.5.1 Fonction d’une variable réelle à valeur réelle
6.5.2 Fonction d’une variable réelle à valeurs dans Rq
6.5.3 Fonction de Rp à valeurs dans Rq
6.6 Formule de Taylor-Lagrange
6.6.1 Fonction d’une variable réelle à valeur dans Rq
6.6.2 Fonction de Rp à valeur dans Rq
6.7 Formule de Taylor-Young
7 Extrema
7.1 Rappels d’algèbre
7.2 Extrema libres
7.2.1 Condictions nécessaires du premier ordre
7.2.2 Conditions du second ordre
7.2.3 Critères avec les matrices Hessiennes
7.2.4 Cas particulier où f : R2 → R
7.3 Extrema liés
7.3.1 Contraintes
7.3.2 Extrema liés avec une seule contrainte
7.3.3 Extrema liés avec plusieurs contraintes
7.4 Convexité et minima

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programme de ce module:
M16: Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables
Ch. I. Espaces vectoriels normés et topologie de (4 séances)
Normes, Normes équivalentes. Suites. Ouverts, Fermés, Compacts,
Connexité par arcs.
Ch. II. Limites et continuité (2 séances)
Définitions et exemples. Continuité des applications linéaires, et normes
subordonnées.
Ch. III. Différentiabilité (3 séances)
Définitions et exemples. Dérivées partielles, matrice Jacobienne,
inégalité des accroissements finies. Fonctions de classe et théorème de
Schwarz.
Ch. IV. Formule de Taylor et extremums (4 séances)
Formule de Taylor à l'ordre 2. Matrice Hessienne, Extremums,
Extrémums liés. Théorème des fonctions implicites (n=2, 3) et Théorème
d’inversion locale