cours algèbre 4 sma s3:réduction des endomorphismes et applications / université Lyon I 2011

cours algèbre 4 sma s3:réduction des endomorphismes et applications / université Lyon I

Algèbre-III
Réduction des endomorphismes
Alexis Tchoudjem
Université Lyon I
10 octobre 2011

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Table des matières
1 Un peu de théorie des groupes
1.1 Lois de composition
1.1.1 Associativité, commutativité
1.1.2 Identité, éléments inversibles
1.2 Groupes
1.3 Sous-groupes
1.4 Groupes cycliques
1.4.1 Les groupes (Z/nZ,+)
1.5 Morphismes de groupes
1.5.1 Sous-groupes distingués
1.5.2 Isomorphismes
1.6 Classes à gauche et à droite
1.7 Le groupe symétrique
1.7.1 Décomposition en cycles
1.7.2 Signature
2 Rappels sur les matrices
2.0.3 Opérations
2.1 Matrices carrées
2.2 Applications
2.2.1 La suite de Fibonacci
2.2.2 Graphes
2.2.3 Équation différentielle
2.3 Systèmes linéaires
2.4 Rang d’une matrice
2.4.1 Rappels sur les espaces vectoriels
2.4.2 Matrices échelonnées
2.4.3 Égalité entre le rang des lignes et le rang des colonnes
2.4.4 Image et noyau d’une matrice
2.5 Lien avec les applications linéaires
2.5.1 Matrice associée à une application linéaire
2.5.2 Théorème du rang
2.5.3 Changements de base
3 Le déterminant
3.1 Dimension 2 et 3
3.2 Déterminant en dimension quelconque
3.2.1 Arrangements
3.2.2 Définitions du déterminant
3.3 Règle de Cramer
3.4 Déterminant d’un endomorphisme
4 Valeurs propres, vecteurs propres
4.1 Sous-espaces invariants
4.2 Vecteurs propres
4.3 Polynôme caractéristique
4.4 Espaces propres
4.5 Un premier critère de diagonalisabilité
4.6 Trigonalisation
5 Polynômes d’endomorphismes
5.1 Définition
5.2 Théorème de Cayley-Hamilton
5.3 Polynômes annulateurs
6 Décomposition spectrale
6.1 Sous-espaces caractéristiques
6.2 Projecteurs spectraux
6.3 Décomposition de Dunford-Jordan
6.4 Calcul pratique des projecteurs spectraux
6.4.1 Méthode
6.4.2 Exemples
6.5 Réduction de Jordan
6.5.1 Blocs de Jordan
6.5.2 Matrices nilpotentes
6.5.3 Réduction de Jordan
7 Puissances
7.1 Motivation
7.2 Cas diagonalisable
7.3 Cas général
7.4 Suites récurrentes
8 Exponentielle
8.1 Exponentielle complexe
8.2 Suites de matrices
8.3 Définition de exp(A)
8.4 Méthode de calcul
8.5 Équations différentielles
8.5.1 Dérivation des matrices
8.5.2 Équations différentielles linéaires à coefficients constants140
9 Groupe orthogonal
9.1 Matrices orthogonales
9.2 Produit scalaire
9.3 Réflexions orthogonales
9.4 Réduction des matrices orthogonales
9.4.1 O2(R)
9.4.2 O3(R)
9.4.3 Cas général
9.5 Les quaternions
9.5.1 Définitions
9.5.2 Norme
9.5.3 Lien avec les rotations
10 Invariants de similitude
10.1 Matrices à coefficients polynomiaux
10.1.1 Matrices élémentaires
10.2 Réduction des matrices à coefficients polynomiaux
10.3 Invariants de similitude
10.4 Endomorphismes cycliques

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programme de ce module:
M17 : ALGEBRE 4: Réduction des Endomorphismes et Applications
Ch. I. Polynômes d’endomorphismes (2 séances)
Sous espaces stables Polynômes d’endomorphismes, lemme des noyaux,
polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton.
Ch. II. Diagonalisation, trigonalisation (3 séances)
Endomorphismes et matrices diagonalisables. Endomorphismes et matrices
trigonalisables.
Ch. III. Décomposition de Jordan (4 séances)
Sous espaces caractéristiques. Réduction de Jordan pour les
endomorphismes nilpotents. Réduction de Jordan pour les
endomorphismes dont le polynôme caractéristique est scindé.
Ch. IV. Applications (4 séances)
Calcul des puissances d’une matrice et son exponentielle. Applications à la
résolution des systèmes d’équations différentiels et aux suites récurrentes