cours physique statistique 1/2 smp s5/s6

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Table des matières
I Physique et probabilités
1 Probabilités
a Exemple : jeux aléatoires
b Dénombrement
2 Systèmes physiques à l’équilibre
a Équilibre thermodynamique
b Autres grandeurs thermodynamiques
c Ordres de grandeur
d Collisions et libre parcours moyen
3 Bilan et objectifs du cours
4 Exercices
a Marche au hasard (approche par la combinatoire)
b Distribution des vitesses d’un gaz
c Probabilités conditionnelles
d Événements indépendants
II Description microscopique et entropie statistique
1 Micro-états et macro-états
2 Espace des phases et densité d’états
a Définition de l’espace des phases
b Densité d’états dans l’espace des phases
c Exemples d’espace des phases
d Surface d’énergie constante
e Particules indiscernables
f Calcul des grandeurs physiques : principe ergodique
g Variables extensives et intensives
3 Entropie statistique
a Information manquante
b Définition de l’entropie statistique
c Propriétés
d De l’entropie statistique à l’entropie thermodynamique
4 Postulat d’entropie maximale
5 Exercices
a Micro-états et macro-états
b Oscillateur harmonique à une dimension
III L’ensemble microcanonique
1 Postulat fondamental
a Système isolé
b Application du principe d’entropie maximale
c Densité d’états
2 Exemple de calcul de la fonction de partition
a Le cas du gaz parfait
b Calcul des grandeurs thermodynamiques
3 Lois thermodynamiques
a Premier principe
b Le second principe retrouvé
c Du microscopique au macroscopique
d Calcul des variables macroscopiques à l’équilibre thermodynamiqu
e Propriétés de l’entropie 
f Équation d’état du gaz parfait microcanonique
4 Exercices   
a Entropie de mélange ; paradoxe de Gibbs
b Défauts dans les solides 
c Chaîne polymère et force entropique
IV Ensemble canonique
1 Distribution et fonction de partition canonique
a Expérience de deux systèmes en contact thermique
b Application du principe d’entropie maximale
2 Entropie d’équilibre 
a Statistique de Boltzmann 
b Distribution de Maxwell 
c Cas de particules indépendantes
3 Potentiel thermodynamique 
4 Théorème d’équipartition de l’énergie
5 Calcul de la pression en théorie cinétique
6 Stabilité thermodynamique 
a Minimisation de l’énergie libre
b Fluctuations en énergie 
c Équivalence des ensembles 
7 Exercices   
a Système d’oscillateurs harmoniques quantiques unidimensionnels
b Dipôles classiques dans dans un champ extérieur
c Système à deux niveaux dans l’ensemble canonique
V Ensemble grand-canonique
1 Entropie d’équilibre et grande fonction de partition
2 Grand potentiel thermodynamique 
3 Le gaz parfait dans le cadre grand-canonique
4 Étude d’un gaz diatomique 
a Hamiltonien et degrés de libertés
b Capacité calorifique d’un gaz de molécules diatomiques
5 Densité spatiale d’un gaz parfait en présence d’un champ extérieur
6 Autres ensembles 
a Relation de Gibbs-Duhem 
b Identité faible de Gibbs 
7 Exercices   
a Adsorption d’un gaz à la surface d’un solide
b Rotation des gaz diatomiques
c Équilibre chimique 
d Compressibilité et fluctuations du nombre de particules
VI Coefficients de transport
1 Relations entre flux et gradients : lois macroscopiques
a Notion d’équilibre thermodynamique local
b Définition des coefficients de transport
c Équations de transport 
2 Évaluation des coefficients de transport par une approche microscopique
a Paramètres microscopiques pertinents
b Retour sur le libre parcours moyen
c Constante d’auto-diffusion 
d Conductivité thermique 
e Viscosité dynamique 
f Relations entre coefficients 
g Limites de l’approche 
3 Exercices   
a Marche au hasard (équation maîtresse)
b Vidange d’un réservoir 
c Conductivité électrique σ et loi de Wiedemann-Franz
d Suspension brownienne 
e Coefficient Seebeck S, principe du thermocouple
VII Statistiques quantiques
1 Systèmes quantiques sans interaction
2 Statistiques classique et quantique 
a Statistique de Fermi-Dirac 
b Statistique de Bose-Einstein 
3 Densité d’état des systèmes quantiques – limite continue
a Densité d’états 
b Expressions intégrales des fonctions thermodynamiques
c Statistique de Planck 
4 Gaz parfait de fermions 
a Surface de Fermi 
b Résultats à température nulle
c Développement à basse température
5 Exercices 
a Densités d’état des électrons libres
b Gaz d’électrons soumis à un champ magnétique
c Naine blanche et limite de Chandrasekhar
d Semiconducteur intrinsèque
VIII Transitions de phase
1 Introduction 
2 La condensation de Bose-Einstein
a Potentiel chimique d’un système de bosons
b Divergence du nombre de particules dans l’état fondamental
c Mécanisme de condensation
d Comportement à haute température
e Comportement à basse température
3 Exercices 
a Gaz de bosons et condensation de Bose
Annexes
A Probabilités
1 Combinatoire 
a Choix multiplicatifs 
b Factorielle 
c Formule de Stirling 
d Arrangements 
e Combinaisons 
f Coefficients binomiaux 
2 Quelques rappels sur les probabilités et les distributions
a Définitions 
b Lois de probabilités 
c Moments d’une loi de probabilité
d Transformations sur les lois de probabilité
e Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes
f Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale
3 Exemples importants de distributions statistiques
a La loi binomiale 
b Distribution normale ou Gaussienne
c La gaussienne comme une limite de la loi binomiale
d La loi de Poisson
e La loi de Poisson comme une limite de la loi binomiale
f La gaussienne comme limite de la loi de Poisson
B Intégrales gaussiennes
C Volume d’une hyperboule et fonction gamma
D Multiplicateurs de Lagrange
E Transformation de Legendre
F Description lagrangienne et hamiltonienne d’un système classique
1 Équations de Lagrange
2 Formalisme d’Hamilton
3 Évolution dans l’espace des phases (hors programme)
4 Exemples d’hamiltonien élémentaire