cours d'analyse 1 smia s1 fsdm 2014/15

cours d'analyse 1 smia s1 fsdm Fès 2014/2015
USMBA FS FES

UNIVERSITE MOHAMED BEN ABDELLAH
FACULTÉ DES SCIENCES DHAR EL MEHRAZ
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

COURS D’ANALYSE 1–Filière SMA-SMI.
Par Brahim BOUSSOUIS

Année universitaire : 2014-2015

Table des matières
Introduction
1 Le corps des nombres réels
1.1 Défi nition axiomatique de R
1.1.1 (R, +, ×, ≤) est un corps commutatif
1.1.2 R est totalement ordonné
1.1.3 R possède la propriété de la borne supérieure
1.2 Propriétés élémentaires de R
1.2.1 Propriétés de corps commutatif totalement ordonné
1.2.2 Conséquences de la propriété de la borne supérieure
1.3 La droite numérique achevée
2 Suites réelles
2.1 Généralités
2.2 Suites convergentes
2.2.1 Limites infinies
2.2.2 Opérations sur les limites
2.3 Outils pour étudier les suites
2.3.1 Limites et monotonie
2.3.2 Limites et relation d’ordre
2.3.3 Suites de Cauchy
2.3.4 Suites équivalentes
2.3.5 Suites récurrentes
2.3.6 Valeurs d’adhèrence et Théorème de Bolzano-Weierstrass
3 Limites et Continuité d’une fonction
3.1 Limite ponctuelle d’une fonction
3.1.1 Voisinages d’un point, Point adhèrent à une partie de R
3.1.2 Limites par valeurs diffèrentes, limites à droite et limites à gauche
3.1.3 Limites infinies
3.1.4 Caractérisation séquentielle
3.1.5 Opérations sur les limites
3.1.6 Théorème de la limite monotone
3.1.7 Critère de Cauchy pour les fonctions
3.1.8 Equivalence des fonctions au voisinage d’un point
3.2 Continuité des fonctions
3.2.1 Propriétés des fonctions continues
3.3 Les théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues
3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires
3.3.2 Théorème des valeurs extrémales
3.3.3 Théorème de Heine
3.3.4 Monotonie et continuité
3.3.5 Applications : Réciproques des fonctions circulaires
4 Dérivées
4.1 Applications dérivables
4.1.1 Régles de dérivation
4.1.2 Extrema relatifs
4.2 Théorème des Accroissements Finis
4.2.1 Autres formulations du théorème des accroissements finis
4.2.2 Applications du théorème des accroissements finis
4.3 Fonctions hyperboliques
4.3.1 Fonctions hyperboliques directes
4.3.2 Fonctions hyperboliques réciproques
Bibliographie




PROGRAMMES DU MODULE :
M1 : Analyse 1 : Suites Numériques et Fonctions
Ch. I. Nombres réels (2 Séances)
Majorant, Minorant, Borne supérieure et borne inférieure, caractérisation de IR
par la propriété de la borne supérieure, Propriété d’Archimède, partie entière,
densité dans un intervalle de IR, densité de Q dans IR, approximation décimale
d’un nombre réel.
 Ch. II. Suites numériques (4 Séances)
 Suites, convergence, opérations sur les limites suites, limites usuelles, limites
séquentielles, Suites monotones, Suites adjacentes (erreur d’approximation de la
limite), Critères de convergence, Suites extraites, Valeurs d’adhérence et
Théorème de Bolzano Weierstrass ; suites de cauchy ; Suites récurrentes.
Ch. III. Fonctions réelles d’une variable réelle  (4 Séances)
Limite d’une fonction, caractérisation séquentielle des limites, Opérations
algébriques sur les limites, Continuité, Théorème des valeurs intermédiaires,
image d’un intervalle et d’un segment par une application continue; fonction
monotone, Théorème de la limite monotone, Théorème de la bijection.
Fonctions réciproques des fonctions circulaires et hyperboliques. Continuité
uniforme, fonctions lipschitzienne, Théorème de Heine.
Ch. IV. Fonctions dérivables (3 Séances)
Définition de la dérivée (à gauche et à droite). Interprétation géométrique de la
dérivée, Opérations sur les dérivée, dérivation de la fonction réciproque.
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis.