cours d'algèbre 1 smia s1 fsr 2015/16
cours d'algèbre 1 smia s1 fsr RABAT 2015/2016
Universite Mohammed V- Agdal (UM5A)
Faculté des Sciences Rabat (FSR)
Département de Mathématiques
Module Algèbre 1
Filières SMA et SMI
Semestre 1
Prof: A. Cherrabi et A. Ouadfel
sommaire:
Chapitre 1
Eléments de logique et méthodes
démonstration
1.1 Eléments de logique
1.1.1 Assertions
Définition 1.1.1
Exemples 1.1.3
1.1.2 Connecteurs logiques élémentaires
Dfinitions 1.1.4
Notation 1.1.5
Exemples 1.1.6
Remarque 1.1.7
1.1.3 Implication et équivalence
Définition 1.1.8
Remarques 1.1.9
Exemple 1.1.10
Définition 1.1.11
Remarques 1.1.12
Exemple 1.1.13
Définitions 1.1.14
Exemples 1.1.15
Proposition 1.1.16
Remarque 1.1.17
1.1.4 Ensembles
1.1.5 Quantificateurs et prédicats
Exemple 1.1.19
Exemples 1.1.20
Remarque 1.1.21
Proposition 1.1.22
Exemple 1.1.23
Remarques 1.1.24
1.2 Méthodes de démonstration
1.2.1 Démonstration directe
Exemple 1.2.1
1.2.2 Démonstration par disjonction de cas
Exemple 1.2.2
1.2.3 Démonstration par contrap osition
Exemple 1.2.3
1.2.4 Démonstration par contre- exemple
Exemple 1.2.4
1.2.5 Démonstration par l'absurde
Exemples 1.2.6
1.2.6 Démonstration par analyse et synthèse
Exemple 1.2.7
Chapitre 2
Ensembles, applications et relations binaires
2.1 Opérations sur les ensembles
2.1.1 Part ies d'un ensemble
Définition 2.1.1
Notation 2.1.2
Remarques 2.1.3
Exemple 2.1.4
Définitions 2.1.5
Remarques 2.1.6
Exemple 2.1.7
Propriétés 2.1.8
Proposition 2.1.9
2.1.2 Produit cartésien
Définition 2.1.11
Exemple 2.1.12
2.2 Applications
2.2.1 Définitions
Définition 2.2.1
Notation 2.2.2
Exemple 2.2.3
Définition 2.2.4
Exemples 2.2.5
Remarques 2.2.6
Notation 2.2.7
2.2.2 Comp osition des applications
Proposition et Définition 2.2.8
Exemple 2.2.9
Proposition 2.2.10
Remarque 2.2.11
2.2.3 Familles
Définition 2.2.14
Exemples 2.2.15
Remarque 2.2.16
Définitions 2.2.17
Remarque 2.2.18
2.2.4 Partition
Définitions 2.2.19
Remarque 2.2.20
Exemples 2.2.21
2.2.5 Image directe et image récipro que
Définitions 2.2.22
Exemple 2.2.23
Propriétés 2.2.24
Définitions 2.2.25
Exemple 2.2.26
Propriétés 2.2.27
2.2.6 Injections, surjections et bijections
Définitions 2.2.28
Exemple 2.2.29
Remarque 2.2.30
Proposition 2.2.31
Proposition 2.2.32
Définition 2.2.33
Proposition 2.2.34
Proposition 2.2.35
Corollaire 2.2.36
Exemples 2.2.37
2.3 Relations binaires
2.3.1 Relations d'équivalence
Définition 2.3.1
Notation 2.3.2
Exemple 2.3.3
Définitions 2.3.4
Exemples 2.3.5
Définitions 2.3.6
Exemple 2.3.7
Remarque 2.3.8
Proposition 2.3.9
Exemple 2.3.10
Théorème 2.3.11
Théorème 2.3.12. (Décomposition canonique d'une application)
Exemple 2.3.13
2.3.2 Relations d'ordre
Définitions et exemples
Définition 2.3.14
Notation 2.3.15
Remarques 2.3.16
Exemples 2.3.17
Définition 2.3.19
Exemples 2.3.20
Eléments remarquables
Définitions 2.3.21
Remarque 2.3.22
Exemples 2.3.23
Définitions 2.3.24
Remarques 2.3.25
Exemples 2.3.26.
Définitions 2.3.27
Exemples 2.3.28
Chapitre 3
Arithmétique dans Z
3.1 Ensemble des entiers naturels
3.1.1 Définitions
Remarques 3.1.1
3.1.2 Raisonnement par récurrence
Théorème 3.1.3. (Principe de l'induction mathématique)
Théorème 3.1.5. (Récurrence à deux pas)
3.2 Divisibilité dans Z
Théorème 3.2.1. (Thóerème de la division euclidienne dans Z)
Théorème 3.2.2. (Thóerème de la division euclidienne dans N)
Exemples 3.2.3
Définition 3.2.4
Remarque 3.2.5
Propriétés 3.2.6
Remarque 3.2.7
3.3 Pgcd et Ppcm
Théorème et Définition 3.3.1
Remarque 3.3.2
Théorème 3.3.3
Définition 3.3.4
Théorème 3.3.5. (Théorème de Bézout)
Corollaire 3.3.6
Corollaire 3.3.7
Théorème 3.3.8. (Lemme de Gauss)
3.4 Algorithme d'Euclide
Lemme 3.4.1
Algorithme 3.4.2. (Algorithme d'Euclide)
Exemple 3.4.3
Algorithme 3.4.4. (Algorithme d'Euclide étendu)
Exemple 3.4.5
Corollaire 3.4.6
Théorème et Définition 3.4.7
Remarque 3.4.8
Théorème 3.4.9
3.5 Nombres premiers
Définition 3.5.1
Théorème 3.5.2
Corollaire 3.5.3
Théorème 3.5.4. (Théorème fondamental d'arithmétique)
Théorème 3.5.5. (Théorè me d'Euclide)
3.6 Congruences
Définition 3.6.1
Remarque 3.6.2
Théorème 3.6.3
Remarques 3.6.4
Théorème 3.6.5
3.7 L'anneau Z/nZ
Théorème 3.7.1
Théorème 3.7.2
Théorème 3.7.3
Théorème 3.7.4. (Petit théorème de Fermat)
Corollaire 3.7.5.
3.8 Fonction indicatrice d'Euler
Définition 3.8.1
Exemple 3.8.2
Théorème 3.8.3
Lemme 3.8.4
Théorème 3.8.5
Théorème 3.8.6
Exemple 3.8.7
Taille du fichier : 356 KB
Nombre de pages : 20
Date de publication : 28/10/2017
id=1074
programme de ce module:
M2 : ALGEBRE 1: Généralités et Arithmétique dans Z
Ch. I. Notions de logique et langage de base de la théorie des ensembles (3 Séances)
Propositions. Connecteurs. Quantificateurs. Raisonnements logiques.
Ensembles. Parties d’un ensemble. Opérations sur les ensembles.
Recouvrement. Partition.
Ch. II. Relations binaires et Applications (4 séances)
Relations binaires, Relations d’équivalences. Relations d’ordre. Bornes
supérieurs. Bornes inférieurs. Fonctions. Applications. Composée. Images
directes. Images réciproques. Injections. Surjection. Bijection. L’ensemble N.
Ch. III. Arithmétique dans Z (6 séances)
Divisibilité dans Z. Division euclidienne. pgcd, ppcm. Numérotation. Algorithme
d’Euclide. Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Nombres premiers,
décompositions en nombres premiers. Congruences. Anneau Z/nZ. Le corps
Z/pZ . Indicateur d’Euler
Universite Mohammed V- Agdal (UM5A)
Faculté des Sciences Rabat (FSR)
Département de Mathématiques
Module Algèbre 1
Filières SMA et SMI
Semestre 1
Prof: A. Cherrabi et A. Ouadfel
sommaire:
Chapitre 1
Eléments de logique et méthodes
démonstration
1.1 Eléments de logique
1.1.1 Assertions
Définition 1.1.1
Exemples 1.1.3
1.1.2 Connecteurs logiques élémentaires
Dfinitions 1.1.4
Notation 1.1.5
Exemples 1.1.6
Remarque 1.1.7
1.1.3 Implication et équivalence
Définition 1.1.8
Remarques 1.1.9
Exemple 1.1.10
Définition 1.1.11
Remarques 1.1.12
Exemple 1.1.13
Définitions 1.1.14
Exemples 1.1.15
Proposition 1.1.16
Remarque 1.1.17
1.1.4 Ensembles
1.1.5 Quantificateurs et prédicats
Exemple 1.1.19
Exemples 1.1.20
Remarque 1.1.21
Proposition 1.1.22
Exemple 1.1.23
Remarques 1.1.24
1.2 Méthodes de démonstration
1.2.1 Démonstration directe
Exemple 1.2.1
1.2.2 Démonstration par disjonction de cas
Exemple 1.2.2
1.2.3 Démonstration par contrap osition
Exemple 1.2.3
1.2.4 Démonstration par contre- exemple
Exemple 1.2.4
1.2.5 Démonstration par l'absurde
Exemples 1.2.6
1.2.6 Démonstration par analyse et synthèse
Exemple 1.2.7
Chapitre 2
Ensembles, applications et relations binaires
2.1 Opérations sur les ensembles
2.1.1 Part ies d'un ensemble
Définition 2.1.1
Notation 2.1.2
Remarques 2.1.3
Exemple 2.1.4
Définitions 2.1.5
Remarques 2.1.6
Exemple 2.1.7
Propriétés 2.1.8
Proposition 2.1.9
2.1.2 Produit cartésien
Définition 2.1.11
Exemple 2.1.12
2.2 Applications
2.2.1 Définitions
Définition 2.2.1
Notation 2.2.2
Exemple 2.2.3
Définition 2.2.4
Exemples 2.2.5
Remarques 2.2.6
Notation 2.2.7
2.2.2 Comp osition des applications
Proposition et Définition 2.2.8
Exemple 2.2.9
Proposition 2.2.10
Remarque 2.2.11
2.2.3 Familles
Définition 2.2.14
Exemples 2.2.15
Remarque 2.2.16
Définitions 2.2.17
Remarque 2.2.18
2.2.4 Partition
Définitions 2.2.19
Remarque 2.2.20
Exemples 2.2.21
2.2.5 Image directe et image récipro que
Définitions 2.2.22
Exemple 2.2.23
Propriétés 2.2.24
Définitions 2.2.25
Exemple 2.2.26
Propriétés 2.2.27
2.2.6 Injections, surjections et bijections
Définitions 2.2.28
Exemple 2.2.29
Remarque 2.2.30
Proposition 2.2.31
Proposition 2.2.32
Définition 2.2.33
Proposition 2.2.34
Proposition 2.2.35
Corollaire 2.2.36
Exemples 2.2.37
2.3 Relations binaires
2.3.1 Relations d'équivalence
Définition 2.3.1
Notation 2.3.2
Exemple 2.3.3
Définitions 2.3.4
Exemples 2.3.5
Définitions 2.3.6
Exemple 2.3.7
Remarque 2.3.8
Proposition 2.3.9
Exemple 2.3.10
Théorème 2.3.11
Théorème 2.3.12. (Décomposition canonique d'une application)
Exemple 2.3.13
2.3.2 Relations d'ordre
Définitions et exemples
Définition 2.3.14
Notation 2.3.15
Remarques 2.3.16
Exemples 2.3.17
Définition 2.3.19
Exemples 2.3.20
Eléments remarquables
Définitions 2.3.21
Remarque 2.3.22
Exemples 2.3.23
Définitions 2.3.24
Remarques 2.3.25
Exemples 2.3.26.
Définitions 2.3.27
Exemples 2.3.28
Chapitre 3
Arithmétique dans Z
3.1 Ensemble des entiers naturels
3.1.1 Définitions
Remarques 3.1.1
3.1.2 Raisonnement par récurrence
Théorème 3.1.3. (Principe de l'induction mathématique)
Théorème 3.1.5. (Récurrence à deux pas)
3.2 Divisibilité dans Z
Théorème 3.2.1. (Thóerème de la division euclidienne dans Z)
Théorème 3.2.2. (Thóerème de la division euclidienne dans N)
Exemples 3.2.3
Définition 3.2.4
Remarque 3.2.5
Propriétés 3.2.6
Remarque 3.2.7
3.3 Pgcd et Ppcm
Théorème et Définition 3.3.1
Remarque 3.3.2
Théorème 3.3.3
Définition 3.3.4
Théorème 3.3.5. (Théorème de Bézout)
Corollaire 3.3.6
Corollaire 3.3.7
Théorème 3.3.8. (Lemme de Gauss)
3.4 Algorithme d'Euclide
Lemme 3.4.1
Algorithme 3.4.2. (Algorithme d'Euclide)
Exemple 3.4.3
Algorithme 3.4.4. (Algorithme d'Euclide étendu)
Exemple 3.4.5
Corollaire 3.4.6
Théorème et Définition 3.4.7
Remarque 3.4.8
Théorème 3.4.9
3.5 Nombres premiers
Définition 3.5.1
Théorème 3.5.2
Corollaire 3.5.3
Théorème 3.5.4. (Théorème fondamental d'arithmétique)
Théorème 3.5.5. (Théorè me d'Euclide)
3.6 Congruences
Définition 3.6.1
Remarque 3.6.2
Théorème 3.6.3
Remarques 3.6.4
Théorème 3.6.5
3.7 L'anneau Z/nZ
Théorème 3.7.1
Théorème 3.7.2
Théorème 3.7.3
Théorème 3.7.4. (Petit théorème de Fermat)
Corollaire 3.7.5.
3.8 Fonction indicatrice d'Euler
Définition 3.8.1
Exemple 3.8.2
Théorème 3.8.3
Lemme 3.8.4
Théorème 3.8.5
Théorème 3.8.6
Exemple 3.8.7
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programme de ce module:
M2 : ALGEBRE 1: Généralités et Arithmétique dans Z
Ch. I. Notions de logique et langage de base de la théorie des ensembles (3 Séances)
Propositions. Connecteurs. Quantificateurs. Raisonnements logiques.
Ensembles. Parties d’un ensemble. Opérations sur les ensembles.
Recouvrement. Partition.
Ch. II. Relations binaires et Applications (4 séances)
Relations binaires, Relations d’équivalences. Relations d’ordre. Bornes
supérieurs. Bornes inférieurs. Fonctions. Applications. Composée. Images
directes. Images réciproques. Injections. Surjection. Bijection. L’ensemble N.
Ch. III. Arithmétique dans Z (6 séances)
Divisibilité dans Z. Division euclidienne. pgcd, ppcm. Numérotation. Algorithme
d’Euclide. Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Nombres premiers,
décompositions en nombres premiers. Congruences. Anneau Z/nZ. Le corps
Z/pZ . Indicateur d’Euler
