cours de la mécanique quantique smp4
cours de la mécanique quantique 1 smp s4 pour les étudiants des facultés des sciences
ce cours se compose de 4 chapitres:
- dualité onde- corpuscule: limites de la physique classique
- Mécanique Ondulatoire : Equation de Schrödinger
- formalisme fondamental de la mécanique quantique
- Postulats de la mécanique quantique
le cours sous forme ppt (powerpoint)
note:
sommaire:
chapitre 1:dualité onde- corpuscule: limites de la physique classique
I) Cadre de la théorie classique :
Mécanique des systèmes matériels :
Champs électromagnétiques et Lumière :
II) Structure Corpusculaire de la Lumière:
1) Corps Noir:
Rayleigh & Jeans : (postulat)
Max Planck (1900)
2) Effet Photoélectrique:
L’effet photoélectrique : émission d’électrons lorsqu’on irradie sous vide un métal alcalin avec un rayonnement lumineux (fréquence u dans l’UV).
Son étude montre que l’énergie lumineuse est absorbée par quanta hu, provoquant l’arrachement
des électrons depuis l’intérieur du métal.
-Observation Expérimentale : (lois de Lenard-1899-1902)
-Théorie d’Einstein (1905)
Cinétique du photon :
► Théorème de conservation de l’énergie :
►Expériences de Millikan (1916) : Confirmation de la théorie d’Einstein.
3) Effet Compton (1923)
Phénomène de diffusion d’un photon par un électron (au repos) dans un cristal.
-Observation expérimentale:
-Explication de Compton :
Le rayonnement incident n’a pas un comportement ONDULATOIRE! Mais :PAQUET DE PHOTONS qui entre en collision avec les électrons libre du diffuseur.
-Problème de Choc Photon -Electron
Equations de la conservation de E et p :
III ) La structure ondulatoire des particules matérielles
-Dualité Onde – Corpuscule : (Louis de Broglie, 1924)
La lumière possède un double caractère : Ondulatoire et Corpusculaire.
Ces deux aspects sont : COMPLEMENTAIRE.
Dualité => vrai pour les Particules (électron, proton,…..)
-Vérification expérimentale : Davisson & Germer (1927); Thomson (1927)
(Figures de diffraction par des électrons diffusés sur des cristaux)
-Relation de Louis De Broglie :
-Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène
Lois classiques : difficulté à interpréter le spectre de rayonnement émis par des atomes.
Cas de l’hydrogène :
L’atome de l’hydrogène => spectre DISCONTINU
Séries de raies
Balmer (visible); Lyman (UV); Paschen (IR), Brackett (IR)
La position de la raie obéit à la loi empirique de Ritz-Rydberg (1887):
-Postulat de Bohr : (stabilité de l’atome)
-Les niveaux d'énergie
chapitre 2:Mécanique Ondulatoire : Equation de Schrödinger
I- Hypothèses fondamentales
1) Fonction d’onde:
Onde & Corpuscule: représentation complémentaire
( Monde microscopique de la matière)
Dualité via les formules de Planck-Einstein et de De Broglie
Postulat:
Tout processus quantique est décrit par une fonction complexe appelée fonction d’onde représentant une amplitude de probabilité.
-Max Born (1924):
2)Différence fondamentale entre état classique et état quantique:
II- Equation de Schrödinger
1) Introduction
2) Equation indépendante du temps- états stationnaires
3) Comportement de la fonction d’onde stationnaire à une seule dimension
a) Régions où l'énergie potentielle est constante
b) Comportement de φ(x) en un point où V(x) est discontinue:
5- Etude d’une marche de potentiel
6- Etude d’une barrière de potentiel
-Cas où E>V0 : Résonance de diffusion
-Cas où 0<E<V0 : Effet Tunnel
chapitre 3:formalisme fondamental de la mécanique quantique
Introduction des outils mathématiques de la mécanique quantique :
I-Espace des fonctions d’onde
II-Espace d’état – Notation de Dirac
I- Espace des fonctions d’ondes E d’une particule
1) Structure de E :
E est un espace vectoriel complexe :
2) Produit scalaire associé à E :
a) Définition:
b) Propriétés
c) Relations supplémentaires:
L’espace des fonctions d’onde E espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire hermitien, est dit espace de Hilbert ou espace Hermitien.
3) Décomposition d’une fonction d’onde sur la base des ondes planes:
a) Transformée de Fourier à une dimension:
b)Transformée de Fourier dans l’espace à trois dimensions:
c) Egalité de Parseval & Plancherel. Conservation de la norme:
d) Fonction de Dirac δ(x):
Propriétés:
e) Base des ondes planes:
4) Opérateur associé à la mesure d'une grandeur physique:
Un opérateur (ou opérateur fonctionnelle) A est un être mathématique agissant dans l'espace des fonctions d'ondes
a) Définitions:
Produit d’operateurs-commutateurs:
[A,B]=AB-BA : opérateur linéaire appelé commutateur des opérateurs A et B.
Exemples :
Deux opérateurs fondamentaux en mécanique quantique: L’opérateur Position et l’opérateur Quantité de mouvement (impulsion).
i) Opérateur associé à la position:
ii) Opérateur associe a la quantité de mouvement:
Ψ(x,t) est fonction propre de l'opérateur quantité de mouvement Px pour la valeur propre px
Généralisation
b) Propriétés importantes des opérateurs position et quantité de mouvement:
c) Principe d'incertitude de Heisenberg:
Les opérateurs position et quantité de mouvement obéissent aux relations de commutation canoniques:
l'écart quadratique moyen de x;
l'écart quadratique moyen de px
la valeur moyenne de x et de px
II. Espace des états. Notation de Dirac:
État quantique => vecteur (d'état) ∈ E
1) Structure de l’espace E:
2) Produit scalaire :
3) Espace dual E*: espace des vecteurs "bras".
4) Opérateurs linéaires:
a) Propriétés:
b) Généralités sur les commutateurs:
c) Fonctions d'opérateurs:
d) Opérateurs linéaires adjoint:
e) Conjugaison hermétique :
Le conjugué hermétique (ou l'adjoint) est obtenu en remplaçant:
- les constantes par leurs complexes conjuguées;
- les kets par les bras associés;
- les bras par les kets associés;
- les opérateurs par leurs adjoints.
- Puis en renversant l'ordre des termes .
-Exemple:
f) Opérateurs hermétiques:
g) Opérateurs unitaires:
Un opérateur A est unitaire si et seulement si A^-1 = A+.
Ainsi: AA+=A+A=1
5) Représentations dans l'espace des états E:
Représentation dans une base discrète finie:
-Tout ket |Ψ> est représenté dans cette base par une matrice colonne dont les éléments sont les composantes du |Ψ> :
-Le bra <Ψ| , associé au ket |Ψ> , est représenté par une matrice ligne dont les éléments sont les complexes conjugués des ck :
-Tout opérateur linéaire A est représenté par une matrice carré noté : A=(Aij)
- L'opérateur adjoint A+ de A est représenté par la matrice adjointe de la matrice A:
b) Relation de fermeture:
c) Base continue: Les représentations {|r>} et {|p>}
i) Représentation {|x>} :
Équation aux valeurs propres :
-Orthonormalisation :
-Relation de fermeture:
Demonstration:
ii) Représentation {|p>} :
Équation aux valeurs propres :
Orthonormalisation :
Relation de fermeture:
Composantes d’un ket |Ψ> dans la base {|p>} :
Généralisation : Représentations {|r>} et {|p>} :
-Recherche des valeurs propres et kets propres d’un opérateur
Si :A|Ψ> = λ|Ψ> alors, on dit que |Ψ> est dit ket propre de l’opérateur A associé à la valeur propre λ .
Si λ est associé à un seul ket propre, alors elle est dite non dégénérée (ou simple). Sinon, elle est dégénérée.
-Détermination des valeurs propres
-Équation caractéristique :
Équation caractéristique :
L’équation aux valeurs propres :A|Ψ>= λ|Ψ>
Les valeurs propres de l’opérateur A sont les racines de son équation caractéristique:
-Détermination des kets propres
6) Observables:
Un opérateur hermétique A est une observable si ses kets propres forment une base orthonormée.
Théorème 1 : Les valeurs propres d’un opérateur hermétique sont réelles.
Théorème 2 : Deux kets propres d’un opérateur hermétique, correspondant à deux valeurs propres différentes, sont orthogonaux
Théorème 3 : Soient A et B deux opérateurs qui commutent. Si |Ψ> est un ket propre de A, B |Ψ> est aussi ket propre de A associé à la même valeur propre λ.
Théorème 4 : Si deux observables A et B commutent, on peut construire une base orthonormée de l’espace des états constituée par des kets propres communs à A et B.
Ensembles Complets d’Observables qui Commutent (ECOC)
Un ensemble d’observables A,B,C,… est un : Ensemble complet d’observables qui commutent si:
-Toutes les observables A,B,C,… commutent deux à deux ;
-La donnée des valeurs propres de tous les opérateurs A,B,C,… suffit à déterminer un ket propre commun unique.
A,B,C,… est un ECOC s’il existe une base formée de vecteurs propres communs et si cette base est
unique.
Exemple 1:
Exemple 2:
chapitre 4:Postulats de la mécanique quantique
Rappels
I. Description Classique d’un système matériel
Les grandeurs physiques : Déterminées lorsqu’on connaît l’état du système L’évolution du système est régie par les Equations de Hamilton-Jacobi
II. Description quantique
1) Les Postulats :
Postulat 1: A un instant t, l’état d’un système physique est défini par la donnée d’un vecteur ket
appartenant à l’espace des états E.
Postulat 2 : Toute grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur hermétique A
agissant dans E. L’opérateur A est une observable.
Postulat 3: La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des
valeurs propres an de l’observable A correspondante.
L’ensemble {an }est appelé : le spectre de l’observable A.
Postulat 4 : Lorsqu’on mesure une grandeur physique A associée à un système se trouvant dans
l’état |Ψ(t)> normé, la probabilité P(an) d’obtenir comme résultat la valeur propre discrète an de l’observable A correspondante est égale à : ∑ (|<Uin|Ψ(t)>|^2)/<Ψ(t)|Ψ(t)>
Postulat 5 : L’état du système immédiatement après la mesure de la grandeur physique est la projection normée, |Ψ'> , de l’état initial |Ψ> sur le sous espace-propre associé à an.
Autrement dit : |Ψ'> =Pn|Ψ>/(<Ψ|Pn|Ψ>)^1/2
Où ∑ Pn=|Uin><Uin| : opérateur projection sur le sous espace propre associé à an.
Postulat 6 : L’évolution dans le temps du vecteur d’état est régie par l’équation de Schrödinger
H(t) est l’observable Hamiltonien associée à l’énergie totale du système.
iћ ∂|Ψ(t)>/∂t=H(t)|Ψ(t)>
H(t) est l’observable Hamiltonien associée à l’énergie totale du système.
2) Principe de correspondance :
Description classique
Position r (x,y, z)
Impulsion p (px, py, pz)
Grandeur physique A (r, p, t)
Description quantique
Position R (X,Y, Z)
Impulsion P (Px, Py, Pz)
Observable A (R, P, t)
3) Valeur moyenne d’une observable :
4) Ecart quadratique moyen
Définition :
L’Ecart quadratique moyen est égal à la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts :
5) Relation d’Incertitude de Heisenberg :
6) Équation de Schrödinger des systèmes conservatifs
Définition :
Un système physique est conservatif si son Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps.
7) Evolution de la valeur moyenne d’une observable :
Si A commute avec H, alors: = 0 → A est une constante du mouvement.
(Les résultats des mesures de A ne dépendent pas du temps).
8) Théorème d’Ehrenfest
