Polycopié du cours Analyse Numérique FSA
Polycopié du cours d'Analyse Numérique FSA
UNIVERSITE IBN ZOHR
UIZ
Faculté des Sciences d’Agadir
FSA
module ”Analyse Numérique et Algorithme”
Ce cours se décompose en neuf chapitres:
Chapitre 0 : Introduction Générale à l’Analyse Numérique
Chapitre 1 : Compléments d’algèbre linéaire
Chapitre 2 : Méthodes directes de résolution d’un système linéaire
Chapitre 3 : Méthodes itératives de résolution d’un système linéaire
Chapitre 4 : Méthodes de résolution des équations non linéaires
Chapitre 5 : Introduction à l’optimisation
Chapitre 6 : Interpolation et Intégration numérique
Chapitre 7 : Méthodes numériques pour les équations différentielles
Chapitre 8 : Introduction aux différences finies et éléments finis
Nom du fichier : Cours Analyse Numérique_S3 By ExoSup.pdf
Taille du fichier : 2.69 MB
Date de publication : 04/09/2015
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Date de publication : 04/09/2015
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Table des matières
Chapitre 0 : Introduction Générale à l’Analyse
Numérique
1. Définition de l’analyse numérique
-1. Solution Analytique et solution Numérique
-2. Solutions Analytiques inefficaces
-3. Solutions Approchées
2. Représentation des nombres sur l’ordinateur
Description simplifiée d’un ordinateur :
Représentation normalisée des nombres sur ordinateur :
Exemple : Représentation en virgule flottante :
Propagation des erreurs numériques
Chapitre 1 : Compléments d’algèbre linéaire
• Introduction
• Rappel sur les normes matricielles
• Valeurs propres, Rayon spectral et Polynôme caractéristique
• Matrices diagonalisables
• Conditionnement d’un système linéaire
Chapitre 2 : Méthodes directes de résolution
d’un système linéaire
1. Introduction
2. Méthode pour les matrices triangulaires
Algorithme :
Fonction x = triang(A,b)
3. Méthode d’élimination de Gauss
Formalisation de l’élimination de Gauss :
Fonction A,b = descent(A,b)
4. Décomposition LU
5. Factorisation de Choleski
Fonction L = Choleski(A)
6. Décomposition QR
Méthode de Householder
7. Calcul des valeurs propres par la méthode QR (méthode des
puissances
8. Comparaison des méthodes directes :
• Cout des méthodes de Gauss et Choleski pour une matrice d’ordre n
Chapitre 3 : Méthodes itératives de résolution
d’un système linéaire
1. Principe Général
2. Convergence
Démonstration
Existence de la solution :
D’après les propriétés du rayon spectral
3. Méthode de JACOBI
Conditions de convergence
4. Méthode de GAUSS-SEIDEL
Chapitre 4 : Méthodes de résolution des
équations non linéaires
1. Introduction
2. Méthode de Dichotomie
3. Méthode de Newton
4. Méthode de Lagrange
5. Etude des méthodes d’approximation successives
Convergence d’une méthode
Ordre d’une méthode
6. Méthodes pour les systèmes d’équations non linéaires
Chapitre 5 : Introduction à l’optimisation
1. Formulation générale des problèmes d’optimisation non linéaire
2. Rappels de calcul différentiel
3. Théorèmes généraux d’existence et d’unicité
4. Optimisation sans contraintes
Conditions nécessaires d’ optimalités
5. Principe des méthodes de descentes
6. Méthode de gradient
7. La méthode de Newton
Chapitre 6 : Interpolation et Intégration
numérique
1. Introduction à l’ interpolation numérique
2. Interpolation polynomiale
3. Calcul de l’erreur d’interpolation
4. Principe des méthodes d’intégration numérique
5. Méthode des rectangles
6. Méthode des trapèzes
7. Méthode de SIMPSON
Chapitre 7 : Méthodes numériques pour les
équations différentielles
1. Problème de Cauchy
Théorème (Cauchy-Lipshitz)
2. Méthode d’Euler
3. Méthodes de RUNGE-KUTTA
Chapitre 8 :Introduction aux différences finies
et éléments finis
1. Modélisation mathématique et Simulation numérique
2. Quelques modèles classiques
Equation des ondes
Equation de Laplace
3. Classification des équations aux dérivées partielles (EDP)
4. Méthode de différences finies
Application à l’équation de la chaleur
5. Méthode des éléments finis
Exemple de l’équation de Laplace
6. Bibliographie
[1] Analyse numérique pour ingénieurs ;Presses Internationales
Polytechnique ; A. Fortin ; 2009
[2] Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation.
P.G Ciarlet, Dunod.
[3] Analyse numérique des équations différentielles. M. Crouzeix, A.
L. Mignot. Collection mathématiques appliquées pour la maitrise.
Masson, Paris 1984.
[4] Calcul scientifique, Cours, exercices corrigés et illustrations en
Matlab et Octave Alfio Quateroni, austoSaleri, Springer.
[5] Ciarlet, Miara et Thomas, Exercices d’analyse numérique
matricielle et d’optimisation,Masson.
[6] Lascaux-Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l’art
de l’ingénieur, Dunod.
