Notes de cours ANALYSE COMPLEXE

Departement MIDO
Notes de cours
ANALYSE COMPLEXE
Guillaume CARLIER
L3, annee 2012-2013


Ces notes de cours constituent une introduction à l’analyse complexe
élémentaire, domaine fascinant de l’analyse aux nombreuses ramifications.
Ces notes ne vous seront profitables que si vous préparez régulièrement et
sérieusement les T.D.s et ne vous dispensent bien évidemment pas d’assister
au cours.
Table des matières
1 Rappels et préliminaires
1.1 Rappels sur les nombres complexes
1.2 Topologie des métriques, topologie de C
1.3 Rappels sur les suites et séries de fonctions
1.4 Connexité
2 Séries entières
2.1 Définitions et propriétés premières
2.2 Opérations sur les séries entières
2.3 Dérivées
2.4 Exponentielle et quelques fonctions usuelles
2.5 Logarithme complexe
3 Fonctions analytiques
3.1 Définitions premières
3.2 Prolongement analytique, principe des zéros isolés et conséquences
3.3 Théorème du module maximal et conséquences
4 Fonctions holomorphes, formules de Cauchy, primitives complexes
4.1 Définitions et propriétés premières
4.2 Les relations de Cauchy-Riemann
4.3 Intégrales le long de chemins, indice
4.4 Primitives complexes
4.5 Théorème de Cauchy et analyticité des fonctions holomorphes
5 Fonctions méromorphes, singularité et résidus
5.1 Séries de Laurent
5.2 Fonctions méromorphes, pôles, résidus
5.3 La formule des résidus
5.4 Exemples de calcul d’intégrales par la formule des résidus