Fonctions de variables complexes:cours et exercices corrigés
Fonctions de variables complexes:cours et exercices corrigés
Bibliographie :
VALIRON G. Théorie des fonctions, Masson, 1942.
BASS J. Cours de Mathématiques, Masson, 1956.
Sommaire
Chapitre 1. Fonctions holomorphes
1. Dérivée d'une fonction f : C → C
2. Conditions de Cauchy‐Riemann..
3. Fonction f : C → C monogène en un point z0 Ԗ C
4. Fonction f : C → C holomorphe dans un ouvert
5. Propriétés des fonctions holomorphes dans un domaine
6. Détermination des fonctions holomorphes
7. Transformation conforme associée à une fonction holomorphe dans un domaine
8. Composée de deux fonctions holomorphes
9. Détermination des transformations ponctuelles conformes
10. Equipotentielles et lignes de courant d'une fonction holomorphe
11. Singularités isolées d'une fonction f : C → C holomorphe presque partout dans un domaine
12. Fonctions multiformes C → C
13. Singularités des fonctions multiformes C → C
14. Fonctions méromorphes
15. Fonction entière
16. Fonction analytique
17. Point à l'infini du plan complexe
Chapitre 2. Fonctions analytiques
18. Polynômes
19. Fractions rationnelles
20. Fonction homographique
21. Fonction exponentielle e z
22. Fonction logarithmique ln z
23. Fonction zs
24. Fonctions circulaires et fonctions hyperboliques
25. Fonctions trigonomériques et hyperboliques inverses
Chapitre 3. Intégration des fonctions analytiques
26. Intégrale le long d'une courbe
27. Théorème de Cauchy
28. Intégrale de Cauchy23
29. Dérivées successives d'une fonction holomorphe
30. Théorème de Liouville
31. Théorème du maximum
32. Série de Laurent
33. Intégration par la méthode des résidus
34. Lemme de Jordan
35. Applications de la méthode des résidus
36. Résidu à l'infini
Chapitre 4. Exercices
Exercice 1. Complexes sur une même circonférence
Exercice 2. Conditions de Cauchy en coordonnées polaires
Exercice 3. Conditions pour que deux faisceaux de courbes orthogonales déterminent une fonction holomorphe
Exercice 4. Fonction harmonique xP'x+yP'y
Exercice 5. Fonction harmonique ln(P'x²+P'y²)
Exercice 6. Trajectoires orthogonales des courbes rncos(nθ)=cste
Exercice 7. Fonctions holomorphes remplissant certaines conditions
Exercice 8. Fonctions holomorphes à variables séparées
Exercice 9. Détermination de Arctan z
Exercice 10. Détermination de Arc cos z
Exercice 11. Détermination d'un radical
Exercice 12. Détermination de Arc tan (1‐z)1/2
Exercice 13. Détermination d'une d'équation différentielle
Exercice 14. Primitive de (2‐cos z)–1
Exercice 15. Intégrale de z–1(1‐z²)–1/2
Exercice 16. Dérivée d'une fonction non monogène
Exercice 17. Transformation Z=z(1‐2z)/(z‐2)
Exercice 18. Transformation non‐conforme conservant les cercles de centre O
Exercice 19. Transformation de Joukowski
Exercice 20. Projection stéréographique
Exercice 21. Géométrie de Poincaré, transformations fuchsiennes
Exercice 22. Non existence de représentation conforme isométrique
Exercice 23. Polynômes de Legendre
Exercice 24. Série lacunaire
Exercice 25. Série rn/(z‐eniω)
Exercice 26. Prolongement analytique de la fonction d'Euler Γ
Exercice 27. Rayon de convergence du développement de (1‐z)1/2/(z²+1)
Exercice 28. Polynômes de Legendre
Exercice 29. Détermination d'une fonction analytique par une condition aux limites
Exercice 30. Pôles et résidus de z/(a‐e‐iz)
Exercice 31. Intégrale de (z+a)ez/z4. 157
Exercice 32. Fonctions méromorphes définies à partir d'une fonction holomorphe
Exercice 33. Intégrale de (x+2)‐1(x3(1‐x)2)–1/5
Exercice 34. Intégrale de (1+x)‐2/3(1‐x)‐1/3
Exercice 35. Intégrale de (1+x)‐1x‐2/3(1‐x)‐1/3
Exercice 36. Intégrale de ln(x)/(x²+1)‐4
Exercice 37. Intégrale de x3(1‐x²)‐1/2ln((1+x)/(1‐x))
Exercice 38. Intégrale de (sin nx)x‐1(x²+a²)‐2
Exercice 39. Intégrale de (sin ax)/(e2πx‐1)
Exercice 40. Intégrale de (cos 3x)/(2+cos x)
Exercice 41. Intégrale de (1+x²)‐2 par 7 méthodes
Exercice 42. Intégrale de eiaz/(e2πz‐1), nombres de Bernoulli
Exercice 43. Intégrale de xm/(1+xp)
Exercice 44. Intégrale d'une fraction rationnelle
Exercice 45. Intégrale de ln z par 3 méthodes
Exercice 46. Intégrale de za+ib‐1/(1+z), intégrale de cos ωt/cosh t
Exercice 47. Intégrale de ln(1‐z)/z1+α
Exercice 48. Intégrale de e‐pt ts‐1
Exercice 49. Intégrale de ezu/(z‐ω)
Exercice 50. Déterminations de l'intégrale de 1/z
Exercice 51. Développement en série de Laurent de 1/sin t
Exercice 52. Développement en série de Laurent de cotan t
Exercice 53. Intégrale de e(π+iω)z/(e2πz+1). Intégrale de sin ωx/sinh πx
Exercice 54. Série de Fourier de 1/(2+cos x)
Exercice 55. Intégrale de z1/2 ln z/(1+z)
Exercice 56. Intégrale de (z‐a)‐1/2(b‐z)‐1/2(c‐z)‐1/2
Exercice 57. Intégrales de (1+xn)‐1/2 et de (1‐xn)‐1/2. Fonctions d'Euler
Exercice 58. Intégrale de z‐1ln((1+z)/(1‐z)), intégrale de t/sinh t
Exercice 59. Fonction ζ de Riemann, intégrale de ts‐1/(et‐1)
Exercice 60. Prolongement analytique de la fonction ζ de Riemann
Exercice 61. Intégrale de cos²3θ/(1‐2p cos 2θ+p²)
Exercice 62. Intégrale de yλ‐1/(b²+y²)
Exercice 63. Intégrale de yλ‐1 ln y/(b²+y²)
Bibliographie :
VALIRON G. Théorie des fonctions, Masson, 1942.
BASS J. Cours de Mathématiques, Masson, 1956.
Sommaire
Chapitre 1. Fonctions holomorphes
1. Dérivée d'une fonction f : C → C
2. Conditions de Cauchy‐Riemann..
3. Fonction f : C → C monogène en un point z0 Ԗ C
4. Fonction f : C → C holomorphe dans un ouvert
5. Propriétés des fonctions holomorphes dans un domaine
6. Détermination des fonctions holomorphes
7. Transformation conforme associée à une fonction holomorphe dans un domaine
8. Composée de deux fonctions holomorphes
9. Détermination des transformations ponctuelles conformes
10. Equipotentielles et lignes de courant d'une fonction holomorphe
11. Singularités isolées d'une fonction f : C → C holomorphe presque partout dans un domaine
12. Fonctions multiformes C → C
13. Singularités des fonctions multiformes C → C
14. Fonctions méromorphes
15. Fonction entière
16. Fonction analytique
17. Point à l'infini du plan complexe
Chapitre 2. Fonctions analytiques
18. Polynômes
19. Fractions rationnelles
20. Fonction homographique
21. Fonction exponentielle e z
22. Fonction logarithmique ln z
23. Fonction zs
24. Fonctions circulaires et fonctions hyperboliques
25. Fonctions trigonomériques et hyperboliques inverses
Chapitre 3. Intégration des fonctions analytiques
26. Intégrale le long d'une courbe
27. Théorème de Cauchy
28. Intégrale de Cauchy23
29. Dérivées successives d'une fonction holomorphe
30. Théorème de Liouville
31. Théorème du maximum
32. Série de Laurent
33. Intégration par la méthode des résidus
34. Lemme de Jordan
35. Applications de la méthode des résidus
36. Résidu à l'infini
Chapitre 4. Exercices
Exercice 1. Complexes sur une même circonférence
Exercice 2. Conditions de Cauchy en coordonnées polaires
Exercice 3. Conditions pour que deux faisceaux de courbes orthogonales déterminent une fonction holomorphe
Exercice 4. Fonction harmonique xP'x+yP'y
Exercice 5. Fonction harmonique ln(P'x²+P'y²)
Exercice 6. Trajectoires orthogonales des courbes rncos(nθ)=cste
Exercice 7. Fonctions holomorphes remplissant certaines conditions
Exercice 8. Fonctions holomorphes à variables séparées
Exercice 9. Détermination de Arctan z
Exercice 10. Détermination de Arc cos z
Exercice 11. Détermination d'un radical
Exercice 12. Détermination de Arc tan (1‐z)1/2
Exercice 13. Détermination d'une d'équation différentielle
Exercice 14. Primitive de (2‐cos z)–1
Exercice 15. Intégrale de z–1(1‐z²)–1/2
Exercice 16. Dérivée d'une fonction non monogène
Exercice 17. Transformation Z=z(1‐2z)/(z‐2)
Exercice 18. Transformation non‐conforme conservant les cercles de centre O
Exercice 19. Transformation de Joukowski
Exercice 20. Projection stéréographique
Exercice 21. Géométrie de Poincaré, transformations fuchsiennes
Exercice 22. Non existence de représentation conforme isométrique
Exercice 23. Polynômes de Legendre
Exercice 24. Série lacunaire
Exercice 25. Série rn/(z‐eniω)
Exercice 26. Prolongement analytique de la fonction d'Euler Γ
Exercice 27. Rayon de convergence du développement de (1‐z)1/2/(z²+1)
Exercice 28. Polynômes de Legendre
Exercice 29. Détermination d'une fonction analytique par une condition aux limites
Exercice 30. Pôles et résidus de z/(a‐e‐iz)
Exercice 31. Intégrale de (z+a)ez/z4. 157
Exercice 32. Fonctions méromorphes définies à partir d'une fonction holomorphe
Exercice 33. Intégrale de (x+2)‐1(x3(1‐x)2)–1/5
Exercice 34. Intégrale de (1+x)‐2/3(1‐x)‐1/3
Exercice 35. Intégrale de (1+x)‐1x‐2/3(1‐x)‐1/3
Exercice 36. Intégrale de ln(x)/(x²+1)‐4
Exercice 37. Intégrale de x3(1‐x²)‐1/2ln((1+x)/(1‐x))
Exercice 38. Intégrale de (sin nx)x‐1(x²+a²)‐2
Exercice 39. Intégrale de (sin ax)/(e2πx‐1)
Exercice 40. Intégrale de (cos 3x)/(2+cos x)
Exercice 41. Intégrale de (1+x²)‐2 par 7 méthodes
Exercice 42. Intégrale de eiaz/(e2πz‐1), nombres de Bernoulli
Exercice 43. Intégrale de xm/(1+xp)
Exercice 44. Intégrale d'une fraction rationnelle
Exercice 45. Intégrale de ln z par 3 méthodes
Exercice 46. Intégrale de za+ib‐1/(1+z), intégrale de cos ωt/cosh t
Exercice 47. Intégrale de ln(1‐z)/z1+α
Exercice 48. Intégrale de e‐pt ts‐1
Exercice 49. Intégrale de ezu/(z‐ω)
Exercice 50. Déterminations de l'intégrale de 1/z
Exercice 51. Développement en série de Laurent de 1/sin t
Exercice 52. Développement en série de Laurent de cotan t
Exercice 53. Intégrale de e(π+iω)z/(e2πz+1). Intégrale de sin ωx/sinh πx
Exercice 54. Série de Fourier de 1/(2+cos x)
Exercice 55. Intégrale de z1/2 ln z/(1+z)
Exercice 56. Intégrale de (z‐a)‐1/2(b‐z)‐1/2(c‐z)‐1/2
Exercice 57. Intégrales de (1+xn)‐1/2 et de (1‐xn)‐1/2. Fonctions d'Euler
Exercice 58. Intégrale de z‐1ln((1+z)/(1‐z)), intégrale de t/sinh t
Exercice 59. Fonction ζ de Riemann, intégrale de ts‐1/(et‐1)
Exercice 60. Prolongement analytique de la fonction ζ de Riemann
Exercice 61. Intégrale de cos²3θ/(1‐2p cos 2θ+p²)
Exercice 62. Intégrale de yλ‐1/(b²+y²)
Exercice 63. Intégrale de yλ‐1 ln y/(b²+y²)
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