ENSA Safi cours et td analyse II

Université CADI AYYAD
Ecole National des Sciences Appliquées de Safi
ENSA Safi
A.U 2012-2013
Analyse II
Première Année, cycle préparatoire
Mr Walid Bouarifi

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I-cours (5 chapitres)

• Intégrales géneralisées
• Séries Numériques
• Suites et Séries de Fonctions
• Séries Entières
• Séries de Fourier

contenu:

Intégrales Généralisées
Introduction
L’intégrale de Riemann est définie pour des fonctions
b ornées et sur des segments. On se prop ose de généraliser
cette notion au cas des fonctions non b ornées dé finies sur
des intervalles qui ne sont pas nécessairement des ségments.

1 Intro duction et premières définitions
1.1 Définition des intégrales convergentes
1.1.1 Linéarité des intégrales convergentes
1.1.2 Intégration par parties
1.1.3 Changement de variable
2 Intégrale généralisée d’une fonction positive
2.1 Critères de comparaison
2.2 Intégrales de comparaison
2.2.1 Intégrales de Riemann
2.2.2 Intégrales de Bertrand
2.2.3 Intégrales de fonction exp onentielle
2.3 Le critère de Cauchy
2.3.1 Critère de Cauchy pour une fonction F définie sur un intervalle [a,b [
2.4 Intégrales absolument convergentes
2.5 Intégrales semi-converge nte s
2.6 Critère d’Ab el

Séries Numériques dans un espace vectoriel normé
Introduction
Lorsque l’on re garde une suite de nombres (un) n? N, il est
naturel de sommer les n premiers termes de cette suite et
d’ étudier si la suite de ces sommes a elle mˆeme une limite.
C’est la notion de série, dont un exemple classique est la série
géométrique. Une série donc est un objet qui consiste à faire
la somme d’un nombre infini de quantités très petites. Ce
concept intervient fortement dans le cadre des probabilités
discrétes. ca n’est mathématiquement qu’un cas particulier
de suites réelles. A priori, on peut se demander pourquoi
consacrer un traitement particulier à cet objet ? Il s’avère
pourtant que l’étude de ces séries est relativement différent
de celle des suites. Nous détaillons dans ce chapitre l’étude
des séries numériques, puis nous appliquons les théorèmes
de convergence uniforme pour étudier ensuite les séries de
fonctions.

1 L’utilisation du symbole Σ
2 Définition des séries numériques
2.1 Exemples de séries numériques
2.1.1 Le paradoxe de Zenon
2.1.2 La série géométrique
2.1.3 Le pro cédé télescopique
2.1.4 série harmonique
2.1.5 La série dont le te rme général n’est pas de signe constant
3 Propr iétés des séries numériques
3.1 Condition nécessair e de convergence d’une série
3.2 Structure algébrique des séries convergentes
3.2.1 Somme de séries
3.2.2 Pro duit d’une série par un scalaire
3.2 Structure algébrique des séries convergentes
3.2.1 Somme de séries
3.2.2 Pro duit d’une série par un scalaire
3.3 Critère de Cauchy
4 Séries absolument convergentes
5 Séries à termes positifs
5.1 Théorème s de comparaison
5.2 Théorème d’équivalence
5.3 Critère de comparaison série-intégrale
5.4 Séries de comparaison
5.4.1 Séries de Riemann
5.4.2 b. Séries de Bertrand
5.5 Régles de convergence
5.5.1 Régle de d’Alemb ert
5.5.2 Régle de Cauchy
5.5.3 Règle de Riemann
6 Séries à termes quelconques
6.1 Séries semi-convergentes
6.2 Critère de Leibniz (dit des séries alternées)
6.3 Critère d’Abel
6.4 Pro duit de Séries
7 Annexe
7.1 Extrait du DS N°2 2009-2010
7.2 Extrait du DS N°2 2010-2011
7.3 Extrait du DS N°2 2011-2012


Suites et Séries de Fonctions

Introduction
Ce chapitre rép ond à un double ob jectif. Tout d’ab ord, la
première partie constitue un pré requis naturel à la deuxième
consacrée aux séries de fonctions. D’autre part, il pose les
bases de ce que l’on app elle ”l’analyse fonctionnelle”. En effet,
dans de multiple s applications, que ce soit en physique ou en
économie, on doit étudier des applications dont la variable est
une fonction (on parle alors de fonctionnelle). En particulier,
on veut pouvoir optimiser de telles applications. Pour cela,
un concept utile est celui de continuité. Par analogie avec les
fonctions d’une variable réelle ou complexe, on doit pouvoir
considérer des suites à valeurs dans des espaces des fonctions.

1 Suites de Fonctions
1.1 Fonctions bornées
1.2 Suites de fonctions
1.3 Convergence simple
1.4 Convergence uniforme
1.4.1 Exemples de synthèse
1.4.2 Critère de Cauchy de convergence uniforme
1.5 Propriétés de la convergence uniforme
1.5.1 Convergence uniforme et fonctions b ornées
1.5.2 Convergence uniforme et continuité
1.5.3 Convergence uniforme et intégration
1.5.4 Convergence uniforme et dérivation
2 Séries de Fonctions
2.1 Les différents typ es de convergence d’une série de fonctions
2.1.1 La convergence simple
2.1.2 La convergence absolue
2.1.3 La convergence uniforme
2.1.4 La convergence absolue uniforme
2.1.5 Critère de Cauchy de convergence uniforme
2.1.6 La convergence normale
2.2 Critères de convergence uniforme d’une série de fonctions
2.2.1 Critère de Weierstrass
2.2.2 Critère d’Ab el uniforme
2.2.3 Critère de Leibniz uniforme
2.3 Propriétés de la convergence uniforme d’une série de fonctions
2.3.1 Continuité
2.3.2 interversion des signes S et ?
2.3.3 Dérivation terme à terme
3 Annexe
3.1 Extrait du DS N°1 2009-2010
3.2 Extrait du DS N°1 2010-2011
3.3 Extrait du DS N°1 2010-2011


Séries entières

Introduction
Nous allons nous interesser dans ce chapitre à des classes
particulières de séries de fonctions qui joue un rôle imp or
tant en mathématiques est constitué de fonctions puissances
et généralise les fonctions polynômes : ce sont les séries
entières que nous allons étudier dans ce chapitre consacré
à des séries de fonctions de la forme S An Xn. On s’intéresse
dans un premier temps aux propriétés de la somme d’une série
entière (domaine de convergence, continuité, etc.). On verra
ensuite comment exprimer les fonctions usuelles comme des
sommes de séries entières. Nous nous limiterons ici à l’étude
des séries entières à valeurs réelles, mˆeme s’il nous arrivera
de faire quelques remarques concernant le cas complexe.

1 Définitions
1.1 Définition d’une série entière
1.2 Rayon de convergence
1.3 Disque de convergence
2 Calcul du rayon de convergence
2.1 Princip e de comparaison
2.2 Régle de d’Alemb ert
2.3 Régle de Cauchy
3 Opérations sur les séries entières
3.1 Multiplication par un scalaire
3.2 Somme de deux séries entières
3.3 Pro duit de deux séries entières
4 Convergence uniforme d’une série entière
4.1 Dérivation d’une série entière
5 Développ ement en série entière d’une fonction
5.1 Développ ements en série entièr e des fonctions usuelles
6 Résolution d’équations différentielles
7 Annexe
7.1 Extrait du DS N°2 2009-2010
7.2 Extrait du DS N°2 2010-2011
7.3 Extrait du DS N°2 2011-2012


Séries de Fourier

Introduction
Après le chapitre sur les séries entières qui traitait des
séries en puissance, on ab orde dans ce de rnier cha
pitre un autre typ e particulier de séries de fonctions,
les séries dites trigonométriques. A la différence des
séries entières, nous passerons b eaucoup moins de temps
sur les séries trigonométriques en tant que telles, tan
dis que le problè me de la décomp osition des fonctions
sous cette forme nous o ccup era la ma jeure partie du
chapitre. D’autre part, les deux résultats principaux de
convergence seront admis, la démonstration s ortant du
cadre de ce cours.

1 Intro duction et théorie
2 Préparatifs
2.1 Notation
2.2 Régularité par morceaux
2.3 Intégration
2.4 Pério dicité
3 polynômes trigonométriques
4 Vers les séries de Fourier
5 Elab orer une théorie à partir de l’exemple
5.1 Construction de la théorie
5.1.1 Calcul d’intégrales intéressantes et Formules utiles
5.2 Calcul des co efficients
5.3 Ecriture complexe des séries d e Fourier
5.4 Interprétation physique
6 Convergence de la série de Fourier
6.1 Convergence des séries trigonométriques
7 Annexe
7.1 Extrait du DS N°3 2009-2010
7.2 Extrait du DS N°3 2010-2011
7.3 Extrait du DS N°3 2011-2012


II-td (6 séries non corrigées)

I-Intégrales géneralisées
II-Series numériques
III-Suites de Fonctions
III-Series de Fonctions
IV-Series entieres
V-Series de Fourier