Cours d'Analyse Complexe pour la Licence de Mathématiques
Cours d'Analyse Complexe pour la Licence de Mathématiques
Cours de Mathématiques pour la Licence
Analyse Complexe
Sylvie Benzoni et Francis Filbet
7 mai 2007
- Rappels sur les nombres complexes
- Transformation de Fourier
- Fonctions de variable complexe
- Transformation de Laplace
1 Rappels sur les nombres complexes
1 Introduction
2 Ecriture cartésienne
2.1 Conjugaison
2.2 Module
3 Inversion
4 Exponentielle
5 Nombres complexes de module 1
6 Racines n-iemes de l’unitè
7 Ecriture trigonométrique
2 Transformation de Fourier
1 Introduction a l’analyse de Fourier
2 Series de Fourier
2.1 Theorie Hilbertienne des séries de Fourier
2.2 Convergence ponctuelle des series de Fourier
3 Transformation de Fourier des fonctions integrables
4 Exemples de Transformees de Fourier
5 Transformation de Fourier de fonctions L2
6 Transformation de Fourier de fonctions L∞
3 Fonctions de variable complexe
1 Introduction
2 Fonctions holomorphes
3 Transformations conformes
4 Integration le long de chemins dans C
4.1 Theoréme de Cauchy
4.2 Reciproque du Théoréme de Cauchy
5 Fonctions analytiques
6 Methodes des résidus
6.1 Notion d’indice
6.2 Formule de Cauchy
7 Zeros et singularités des fonctions holomorphes
8 Fonctions holomorphes elémentaires
8.1 Fonctions homographiques
8.2 La fonction exponentielle et ses acolytes
8.3 Les fonctions logarithme et les fonctions puissance
9 Theorémes gènéraux
9.1 Principe des zeros isolés
9.2 Principe du prolongement analytique
9.3 Principe du maximum
10 La fonction Gamma
11 Reciproques de fonctions holomorphes
12 Retour sur les singularites isolées
4 Transformation de Laplace
1 Introduction
2 Transformees de Laplaceélémentaires
3 Regles de calcul
4 Transformation de Laplace inverse
5 Applications de la transformation de Laplace
A Appendice : complements de calcul différentiel et intégral
