cours d'analyse comlplexe s3 fs oujda

UNIVERSITE MOHAMED I
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
ET INFORMATIQUE
OUJDA

Mathématiques pour la physique
ANALYSE COMPLEXE
Pr : Abdelhaq BENBRIK
Année : 2012 − 2013
FILIERE SM (S3)
Table des matières
1 Séries numériques
1.1 Généralités
1.2 Séries à termes positifs
1.2.1 Règles de convergence
1.3 Séries à termes quelconques
1.4 A retenir
2 Séries de fonctions
2.1 Suites de fonctions
2.1.1 Continuité de la fonction limite
2.1.2 Limite uniforme d’une suite de fonctions intégrables
2.1.3 Limite uniforme d’une suite de fonctions deri vable
2.2 Séries de fonctions
2.2.1 Définitions
2.2.2 Convergence uniforme des séries alternées
2.2.3 Règle d’Abel pour la convergence uniforme
2.3 Propriétés de la somme
3 Séries entières
3.1 Définition et exemples
3.2 Rayon de convergence d’une série entière
3.2.1 Généralités
3.2.2 Calcul du rayon de convergence
3.2.3 Opérations algébriques et rayon de convergence
3.3 Propriétés de la somme d’une série entière
3.3.1 Continuité de la somme
3.3.2 Intégration terme à terme
3.3.3 Dérivation terme à terme
3.4 Fonction developable en série entière
3.4.1 Exemple de fonctions de classe C∞ non developables en série entière
3.4.2 Exemples de développement en série entière
4 Séries de Fourier
4.1 Séries trigonométriques
4.1.1 Propriétés de la somme d’une série trigonométrique
4.1.2 Développement d’une fonction en série trigonométrique
4.1.3 Décomposition en série de Fourier
4.1.4 Exemples et applications
5 Fonctions d’une variable complexe
5.1 Objets du plan complexe
5.1.1 Le plan complexe C
5.1.2 Disques
5.1.3 Chemins, courbes
5.1.4 Chemins homotopes
5.1.5 Domaine connexe
5.1.6 Domaine simplement connexe
5.1.7 Limites, continuité
5.1.8 Fonction holomorphe
5.1.9 Propriétés algébriques des fonctions holomorphes
5.1.10 Exemples de fonctions holomorphes
5.2 Intégrale le long d’un chemin
5.2.1 Définition
5.2.2 Théorème de Cauchy
5.3 Théorie de Cauchy
5.3.1 Exemple fondamental
5.3.2 Les fonctions z 7→ log z, z 7→ Logz et z 7→ zα α ∈ C
5.3.3 La formule intégrale de Cauchy
5.4 Séries entières et Séries de Laurent
5.4.1 Singularités d’une fonction f(z)
5.5 Calcul des résidus
5.5.1 Résidus
5.5.2 Théorème des résidus
5.5.3 Calcul pratique des résidus
5.5.4 les lemmes de Jordan
5.6 Applications aux calculs d’intégrales
5.6.1 Intégrales du type R−∞ +∞ Q P ( (x x) )dx
5.6.2 Intégrales du type R02π R (cos θ, sin θ) dθ
5.6.3 Intégrales du type R−∞ ∞ f(x) cos mxdx et R−∞ ∞ f(x) sin mxdx
6 Transformation de Fourier
6.1 Préliminaires
6.1.1 Fonctions intégrable
6.1.2 Théorèmes fondamentaux
6.2 Transformation de Fourier dans L1(R)
6.2.1 Définition et propriétés
6.2.2 Propriétés
6.2.3 Exemples de transformées
6.3 Propriétés
6.4 Convolution dans L1(R)
6.4.1 Définition
6.4.2 Propriétés de la fonction convolution
6.4.3 Produit de convolution et transformation de Fourier
6.5 Transformée de Fourier inverse
6.6 Note sur la distribution de Dirac
7 Transformation de Laplace
7.1 Introduction
7.2 La transformée de Laplace
7.2.1 Espace des originaux
7.3 Propriétés
7.4 Transformée de Laplace inverse
7.5 Produit de convolution
8 Les distributions
8.1 Introduction
8.2 Espace vectoriel D′
8.3 Exemples de distributions
8.4 Opérations sur les distributions
8.4.1 Multiplication
8.4.2 Translation
8.4.3 Dilatation
8.5 Dérivation des distributions