analyse complexe et les séries de Fourier

Table de matiere
I Differentiabilité dans C
I.1 Les nombres complexes et le plan complexe
I.2 Fonctions complexes d’une variable complexe
I.3 Equations de Cauchy–Riemann
I.4 Propriétés de fonctions holomorphes
I.5 Séries et fonctions analytiques
I.6 Holomorphie et analyticité des séries entières
I.7 Calcul avec des séries
I.8 La fonction exponentielle et le logarithme
I.9 Exercices
II Calcul integral et théorie de Cauchy
II.1 Chemins et courbes
II.2 Intégrales curvilignes
II.3 Existence des primitives
II.4 Théorème fondamental de Cauchy
II.5 Formule intégrale de Cauchy
II.6 Dérivées supérieures d’une fonction holomorphe
II.7 Théorème fondamental de l’algèbre
II.8 Principe du maximum
II.9 Prolongement analytique et théorème de l’image ouverte
II.10 Exercices
III Singularites et fonctions méromorphes
III.1 Le point à l’infini et la sphère de Riemann
III.2 Le développement de Laurent
III.3 Singularités isolées
III.4 Théorème des résidus
III.5 Calcul d’intégrales par la méthode des résidus
III.6 Fonctions méromorphes
III.7 Principe de l’argument
III.8 Exercices
IV Series de Fourier
IV.1 Définitions mathématiques et exemples
IV.2 Lemme de Riemann et fonctions à variation bornée
IV.3 Etude élémentaire de la convergence
IV.4 Noyau de Dirichlet et convergence ponctuelle
IV.5 Le phénomène de Gibbs
IV.6 Fonctions continues, Théorème de Fejér
IV.7 Systèmes orthogonaux
IV.8 L’espace de Hilbert ℓ2
IV.9 Ondelette de Haar
IV.10 Exercices
V Equations aux derivées partielles
V.1 Equation des ondes (corde vibrante)
V.2 L’équation de la chaleur
V.3 Le problème de Dirichlet pour l’équation du potentiel
V.4 Equation des ondes (membrane circulaire)
V.5 Transformation de Fourier
V.6 Exercices