Analyse complexe notes de cours

Analyse complexe
notes de cours
André Giroux
Département de mathématiques et statistique
Université de Montréal
Juin 2004
1 INTRODUCTION
L’analyse est l’étude approfondie du calcul différentiel et intégral. Ce
cours porte sur le calcul différentiel et intégral des fonctions complexes
d’une variable complexe. Il s’agit d’un premier cours sur le sujet o`u les
propriétés des nombres complexes et l’extension aux variables complexes des
fonctions élémentaires d’une variable réelle sont tout d’abord présentées. On
développe ensuite leur calcul différentiel et intégral et on étudie les propriétés
supplémentaires de ces fonctions qui en découlent. Quelques applications aux
séries et aux intégrales de Fourier sont enfin exposées.
L’étudiant est réputé être familier avec le calcul différentiel et intégral
des fonctions d’une variable réelle et bien connaˆıtre les propriétés des fonc
tions élémentaires (polynômes et fonctions rationnelles, exponentielle et lo
garithme, fonctions trigonométriques directes et inverses).
Le cours contient des démonstrations rigoureuses et complètes de tous
ses théorèmes et l’étudiant sérieux devrait fournir des solutions de même
calibre aux exercices proposés à la fin de chaque chapitre.


Table des matières
1 INTRODUCTION
2 LES NOMBRES COMPLEXES
2.1 Propriétés algébriques
2.2 Propriétés topologiques
2.3 L’infini en analyse complexe
2.4 Exercices
3 LES FONCTIONS COMPLEXES
3.1 Fonctions continues
3.2 Polynômes et fonctions rationnelles
3.3 La fonction exponentielle
3.4 Application aux séries de Fourier
3.5 Exercices
4 FONCTIONS HOLOMORPHES
4.1 Exercices
5 LE CALCUL INTEGRAL
5.1 Propriétés des courbes
5.2 Intégrales curvilignes
5.3 Les théorèmes de Cauchy
5.4 Le logarithme
5.5 Exercices
6 PROPRIETES ANALYTIQUES DES FONCTIONS HOLOMORPHES
6.1 L’analycité
6.2 La propriété des zéros isolés
6.3 La propriété du module maximum
6.4 Exercices
7 LE CALCUL DES RESIDUS
7.1 Singularités isolées
7.2 Résidus
7.3 La propriété de l’application ouverte
7.4 Application aux transformées de Fourier
7.5 Application au calcul d’intégrales diverses
7.6 Exercices
8 PROPRIETES GEOMETRIQUES DES FONCTIONS HOLOMORPHES
8.1 Transformations conformes
8.2 Les transformations homographiques
8.3 Exercices
9 FONCTIONS HARMONIQUES
9.1 L’équation de Laplace
9.2 Propriétés
9.3 Application aux EDP
9.4 Exercices
Table des figures
1 Les racines 7ième de l’unité
2 w = z2, les hyperboles
3 w = z2, les paraboles
4 Le sens de parcours positif
5 Le théorème de Cauchy
6 La formule de Cauchy
7 Le théorème de Laurent
8 Une transformée de Fourier
9 Une transformée de Fourier
10 Un calcul d’intégrale
11 Un calcul d’intégrale
12 Un calcul d’intégrale
13 Angle entre deux courbes
14 Une transformation homographique
15 Le noyau de Poisson
16 Un problème de Dirichlet