Analyse Complexe cours et exercices

Table des matières

Préface

CHAPITRE I. Formes différentielles, homotopie

I.1. Définitions générales

I.2. Intégration des 1-formes différentielles

I.2.1. Définitions générales et formule de Stokes

I.2.2. Indice d’un lacet par rapport à un point .

I.3. Homotopie

I.4. Deux applications

I.4.1. Logarithme complexe

I.4.2. Quelque propriétés de l’indice

Exercices . .

CHAPITRE II. Fonctions holomorphes

II.1. Définition et propriétés fondamentales

II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes

II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte

II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf

Exercices

CHAPITRE III. Fonctions harmoniques

III.1. La formule de Green

III.2. Fonctions harmoniques et sous-harmoniques et propriété de la moyenne

III.3. Le problème de Dirichlet classique dans une boule

III.4. Cas particulier de la dimension 2, liens avec les fonctions holomorphes

III.4.1. Noyaux de Green et de Poisson du disque unité et fonctions harmoniques

III.4.2. Fonctions sous-harmoniques

III.4.3. Intégrale de Poisson et fonctions holomorphes

Exercices

CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass

IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie

IV.2. Résolution C ∞ des équations de Cauchy-Riemann

IV.3. Le Théorème de Weierstrass

IV.3.1. Première démonstration du Théorème de Weierstrass

IV.3.2. Produits infinis de fonctions holomorphes

IV.3.3. Les facteurs élémentaires de Weierstrass

IV.3.4. La sphère de Riemann

IV.3.5. Seconde démonstration du Théorème de Weierstrass

Exercices

CHAPITRE V. Transformations biholomorphes, Théorème de Riemann

V.1. Généralités

V.2. Exemples de groupes d’automorphismes

V.2.1. Le groupe des automorphismes de C

V.2.2. Le groupe des automorphismes de la sphère de Riemann

V.2.3. Le groupe des automorphismes du disque unité D

V.3. Le Théorème de Riemann

V.4. Régularité au bord des transformations conformes

Exercices

CHAPITRE VI. Prolongement analytique, fonctions modulaires, Théorème de Picard

VI.1. Le cas des séries entières

VI.2. Le Théorème de Monodromie

VI.3. Fonctions modulaires

VI.4. Le Théorème de Picard

VI.4.1. Un Théorème de Landau et un Thèorème de Bloch

VI.4.2. Un Théorème de Schottky

VI.4.3. Démonstration du Grand Théorème de Picard

Exercices

Annexe

CHAPITRE A. Intégration en polaires

A.1. Mesure euclidienne (ou invariante) sur une sphère

A.2. Intégration en polaires

CHAPITRE B. Mesure euclidienne sur une sous-variété différentiable. Intégration par « tranches »

B.1. Cas des sous-variétés paramétrées

B.2. Cas général

Index

Bibliographie

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