Examen corrigé de mécanique du solide UCP

• Expérience de Timotchenko
• Mouvement horizontal d'un Yoyo

Exercice 1. (~ 3 points)

Soit un demi-disque de rayon R et de centre O, homogène de masse m,

d'épaisseur négligeable (la masse du disque est donc surfacique). L'axe

(O,z) est l'axe perpendiculaire au plan du demi-disque passant par O.

a) Calculer le moment d'inertie du demi-disque par rapport à l'axe (O,z).

b) Par symétrie le centre de gravité G du demi-disque est sur le segment [O,A].

Montrer que OG = 4R

3 .

c) En déduire le moment d'inertie du demi-disque par rapport à l'axe (A,z). (A,z) est la droite

parallèle à (O,z) passant par le point A défini sur la figure.

Exercice 2. Expérience de Timotchenko (~ 8 points)

Deux cylindres de rayon r, tournent en sens opposés à la vitesse angulaire  autour de leur axes

respectifs (O1,z) et (O2,z) distants de 2l. Leur sens de rotation sont donnés sur la figure 0 . Les

axes (O1,z) et (O2,z) sont fixes. Une planche indéformable, homogène de masse m, d'épaisseur

négligeable est placée sur les cylindres (voir figure). Les coefficients de frottement dynamique aux

points de contact I et J entre la planche et les cylindres sont égaux à  . La planche est suffisamment

longue pour être toujours en contact avec les cylindres en I et J (voir figure).

Soit O le milieu de [O1,O2] et G le centre de gravité (milieu) de la planche. On note x l’abscisse de

G dans (O;x,y,z). Expérimentalement, on constate que la planche effectue des petites oscillations

dans le plan horizontal. Le but de l'exercice est de calculer la période de ces oscillations.

Soient R 

I=T I u xN I u y et R J=T Ju xN Ju y les forces de contact des cylindres sur la planche en I

et J.

On supposera qu'à chaque instant : −rx ˙ r  .

a) Déterminer les vitesses de glissement en I et en J en fonction de  , r et x

b) Quelles sont les forces extérieures sur la barre ? Justifier que T I= N I et T J=− N J . Faire un

schéma représentant toutes les forces extérieures et leur points d'application.

c) En utilisant le principe fondamental de la dynamique (théorème de la résultante cinétique) et le

théorème du moment cinétique, déterminer l'équation différentielle du mouvement (équation

différentielle dont x(t) est solution. t est le temps).

Exercice 3. Mouvement horizontal d'un Yoyo (~ 9 points)

Un yoyo de rayon interne b, de rayon externe R, de masse m, et de moment d'inertie J par rapport à

son axe de symétrie, est posé sur le sol horizontal. Initialement, le yoyo ne bouge pas et l'abscisse

de son centre C est xC = 0 (voir figure). On supposera que le mouvement du yoyo reste dans le plan

(O;x,y) et que le yoyo ne glisse jamais. Le coefficient de frottement statique entre le yoyo et le sol

est  . Le fil du yoyo est supposé inextensible et sans masse ; il peut s'enrouler sur la bobine de

rayon b du yoyo.

Aux temps t≥0 , une force constante F  =F u x (F > 0) est appliquée au bout A du fil (voir figure).

Initialement, xA = l > 0.

Indication : Expérimentalement on constate : que le yoyo se déplace dans le sens de F  , que le fil

s'enroule sur le yoyo et que le point A se déplace dans le sens de F  .

a) Déterminer la relation entre la vitesse angulaire  du yoyo et la vitesse x˙C de son centre C.

b) En utilisant le principe fondamental de la dynamique (théorème de la résultante cinétique) et le

théorème du moment cinétique, déterminer l'accélération angulaire  ˙ et la vitesse angulaire 

du yoyo en fonction de R, b, m, J, F et du temps t.

c) En déduire la position xC(t) de C à l'instant t.

d) Sachant que le fil s'enroule sans glisser sur la bobine (de rayon b du yoyo), exprimer la vitesse

vK

du point K de contact entre le fil et la bobine.

Le fil étant inextensible on a vA=v K . En déduire l’abscisse xA(t) à l'instant t.

e) Déterminer l'énergie cinétique du yoyo dans le référentiel du sol à l'instant t en fonction de R, b,

m, J, F et t.

f) Énoncer le théorème de la puissance cinétique.

Montrer qu'il est bien vérifié pour le système étudié.