Cours de Mécanique du Solide Indéformable FS El Jadida

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

sommaire

Chapitre I

Vecteurs et Torseurs

A-Rappels sur les vecteurs

1-Introduction

2-Opérations sur les vecteurs

2.1-Produit scalaire

2.2-Produit vectoriel

2.3-Double produit vectoriel

2.4-Produit mixte

B-TORSEURS

1-Champ de vecteurs antisymétrique

1.1-Définition 1

1.2-Théorème 1

1.3-Proposition 1

1.4-Proposition 2

1.5-Définition 2

1.6-Définitions 3

2-Equiprojectivité

2.1-Définition

2.2-Théorème de Delassus

3-Définition et notions sur les torseurs

4-Invariant scalaire d’un torseur

5-Algèbre élémentaire des torseurs

5.1-Egalité de deux torseurs

5.2-Addition des torseurs

5.3-Multiplication d’un torseur par un scalaire

5.4-Comoment de deux torseurs

6-Axe central d’un torseur

6.1-Point central

6.2-Axe central

6.3-Moment central

7-Torseurs à invariant scalaire nul : Glisseurs et Couples

7.1-Torseur nul [0]

7.2-Glisseur [G]

7.3-Couple [C]

Chapitre II

Cinématique du Solide

I-Généralités et définitions

2-Référentiel, Repère

3-Repérage de la position d’un solide

Angles d’Euler

Degrés de liberté

II-Vecteurs Position, Vitesse et Accélération d’un point d’un solide

1-Position et Vecteur position d’un point d’un solide

2-Vecteur vitesse d’un point d’un solide

3-Vecteur accélération d’un point d’un solide

4-Vecteur rotation instantané

III-Champ des vecteurs vitesse des points d’un solide

1-Formule fondamentale de la cinématique du solide (FFCS)

2-Mouvement de translation

3-Solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe

4-Solide en mouvement quelconque : mouvement tangent

IV-Champ des vecteurs accélération des points d’un solide

Exemple : Tige en appui sur deux axes

V-Composition des mouvements

1-Composition des vecteurs vitesse

2-Composition des vecteurs rotation

Exemple : Rotation autour d’un point fixe

3-Composition des torseurs cinématiques

4-Composition des vecteurs accélération

VI-Cinématique de contact entre deux solides

1-Contact ponctuel

1.1-Vitesse de glissement

1.2-Roulement et pivotement au point de contact

Exemple : Variateur à plateau

2.2-Liaison glissière

2.3-Liaison verrou (ou pivot-glissant)

2.4-Liaison sphérique (ou rotule)

IV-Mouvement plan sur plan

1-Définition

2-Centre Instantané de Rotation (CIR)

3-Base et roulante

4-Recherche géométrique du CIR

Chapitre III

Cinétique du Solide

A-Géométrie des Masses

II-ntroduction Masse

II-Masse

III-Centre d’inertie

IV-Le référentiel barycentrique

V-Moments, opérateur et matrice d’inertie d’un solide

1-Moment d’inertie par rapport à un axe

2-Opérateur d’inertie

3-Matrice d’inertie

4-Moments d’inertie par rapport à un point et par rapport à un plan

5-Relations entre les moments d’inertie

6-Matrice principale d’inertie

EXEMPLES

Exemple1 : Tige pleine de longueur L

Exemple2 : Disque de rayon R

Exemple3: Cylindre plein de rayon R et de hauteur h

Exemple4 : Sphère creuse de rayon R

Exemple5 : Sphère pleine de rayon R

VI-Théorèmes de Huygens

1-Théorème de Huygens classique

2-Théorème de Huygens généralisé

B-Torseur Cinétique

1-Quantité de mouvement

2-Moment cinétique par rapport un point

3-Moment cinétique par rapport à un axe ∆

4-Moment cinétique par rapport à G

5-Mouvement de translation de (S) par rapport à R

6-Torseur cinétique

7-Le 1er théorème de Koenig

8-Torseur cinétique en un point quelconque du solide

9-Moment cinétique par rapport à un point fixe du solide

10-Moment cinétique par rapport à un axe fixe

11-Système de solides

C-Torseur Dynamique

1-Quantité d’accélération

2-Moment dynamique par rapport à un point

3-Moment dynamique par rapport à un axe ∆

4-Moment dynamique par rapport à G

5-Mouvement de translation de (S) par rapport à R

6-Torseur dynamique

7-Théorème de Koenig

8-Relation entre Torseur Cinétique et Torseur Dynamique en un point quelconque

9-Système de solides

D-Energie Cinétique

1-Définitions

2-Energie cinétique barycentrique

3-Le 2eme théorème de Koenig

4-Mouvement de translation

5-Mouvement quelconque

6-Système de solides

Chapitre IV

Dynamique et Energétique du Solide

A-Dynamique

I-Actions mécaniques

1-Torseur d’action mécanique sur un système matériel (S)

2-Torseurs particuliers d’action mécanique

2.1- Couple

2.2- Glisseur

3-Action à distance: le champ de pesanteur

4-Actions mécaniques de contactLois d’Amontons-Coulomb

4.1- Torseur d’action mécanique de contact

4.2- Lois d’Amontons-Coulomb

4.2.1- Vecteur résultante générale R(S1-S2)

4.2.2- Vecteur moment des actions de contact M(S1-S2)

Moment de pivotement

Moment de roulement

Liaison parfaite

II-Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux

1-Enoncé du PFD:

I.l-existe au moins un repère (R), appelé repère galiléen, et au moins une chronologie, appelée chronologie galiléenne, tel que le torseur dynamique d’un solide (S) dans son mouvement par rapport à (R), soit égal au torseur des actions mécaniques extérieures à (S)

Exemples de repères galiléens

2-Théorème de la résultante dynamique ou du Centre d’inertie

3-Théorème du moment dynamique

4-Théorème du moment cinétique

5-Système en équilibre

6-Equation de mouvement

7-Intégrale première du mouvement

III-Théorème des actions mutuelles

1-Enoncé

L’action mécanique d’un solide (S1) sur un solide (S2) est opposée à l’action mécanique du solide (S2) sur le solide (S1)

2-Torseur d’action mécanique intérieure à un système (S)

IV-PFD dans (R’) non Galiléen

1-Théorème

2-(R') en translation rectiligne uniforme par rapport à (R)

Exemple : Mouvement d’une sphère sur un plan incliné

B-Energétique

I-Puissance

1-Point matériel

2-Système matériel (S)

3-Solide unique (S)

4-Conséquence pour un système matériel (S)

5-Actions mutuelles entre deux systèmes matériels

6-Actions de contact entre deux solides

7-Liaison parfaite entre deux solides

II-Travail

1-Point matériel

2-Système matériel (S)

3-Solide unique (S)

III-Energie potentielle

1-Point matériel

Force conservative

Force non conservative

2-Système matériel (S)

IV-Théorème de l’énergie cinétique

1-Mouvement dans un repère galiléen (R)

1.1-Système matériel (S)

1.2-Solide unique (S)

2-Mouvement dans un repère non galiléen (R’)

2.1-Système matériel (S)

2.2-Solide unique (S)

V-Théorème de l’énergie mécanique