Exercices corrigés:Théorème de Rolle, accroissements finis - analyse 1

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Date de publication : 16/11/2014
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extrait

Exercices corrigés

Théorème de Rolle, accroissements finis

1 Enoncés

Exerci ce 1 Demonstration du théorème des accroissements finis.

Soit f : [a,b] → R, continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. En appliquant le théorème de Rolle à la fonction

F: [a,b] → R définie par

F(x) = f(x) − f(b) − f(a)

b − a (x − a),

montrer qu’il existe c ∈ ]a,b[ tel que

f 0(c) = f(b) − f(a)

b − a .

Exerci ce 2 Soit P la fonction polynômiale définie par P(x) = 3x 4 − 11x 3 + 12x 2 − 4x + 2. Montrer que P 0

s’annule au moins une fois sur ]0, 1[.

Exerci ce 3 Soit f : R → R la fonction définie par

f(x) = sin x + cos x

1 + cos 2 x .

Montrer que, pour tout a ∈ R, f 0 s’annule au moins une fois sur l’intervalle ]a,a + 2π[.

Exerci ce 4 Soient f,g: [a,b] → R, continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[. On suppose que f(a) 6= f(b) et

g(a) 6= g(b). Montrer qu’il existe c ∈ ]a,b[ tel que

f 0(c)

f(a) − f(b) =

g 0(c)

g(a) − g(b) .

On considérera pour cela la fonction F définie sur [a,b] par F(x) = f(a) − f(b) g(x) − g(a) − g(b) f(x).

Exerci ce 5 Soient p et q deux réels et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer que la fonction

polynômiale P définie par P(x) = xn + px + q admet au plus trois racines réelles si n est impair et au plus deux

racines réelles si n est pair.

Exe rci ce 6 En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction Arctg, montrer que

∀t > 0, Arctg t > t

1 + t 2 .

Exerci ce 7 Soit f : R ∗ → R la fonction définie par f(x) = exp(1/x). Montrer que, pour tout x > 0, il existe

c ∈ ]x,x + 1[ tel que

f(x) − f(x + 1) = 1

c 2 exp 1c .

Déterminer

lim

x →∞

x 2 exp x1 − exp x + 11 .

Exerci ce 8 Soit f : [a,b] → R ∗ +, continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. En utilisant la fonction g := ln f,

montrer qu’il existe c ∈ ]a,b[ tel que

f(b)

f(a) = exp ff0((cc)) (b − a) .

Exerci ce 9 Soit P la fonction polynômiale réelle définie par

P(x) = a 0 + a 1x + · · · + a nxn.

On suppose que les coefficients de P satisfont la relation

a 0 +

a 1

2

+ · · · +

a

n

n + 1

= 0.

En considérant une primitive de P, montrer que P admet au moins une racine dans l’intervalle ]0, 1[.

Exerci ce 10 (a) A l’aide du théorème des accroissements finis, montrer que

∀x > 0, 1

x + 1

< ln(x + 1) − ln x < 1

x

.

(b) En déduire que les fonctions f et g définies sur R ∗ + par

f(x) = 1 + x1 x et g(x) = 1 + x1 x +1

sont monotones.

(c) Déterminer les limites en l’infini de ln f et ln g, puis de f et g.

Exerci ce 11 Demonstration de la formule de Leibniz.

Montrer que, si f et g sont deux fonctions N fois dérivables (ou N ∈ N ∗), alors fg est au moins N fois dérivable

et, pour tout n ≤ N,

(fg) (n) =

n Xk

=1

Cn

k f(k)g(n −k).

Exerci ce 12 En utilisant la formule de Leibniz, calculer la dérivée d’ordre n de la fonction f définie sur R ∗+

par f(x) = x2 ln x.