32 exercices corrigés sur les espaces vectoriels

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Taille du fichier : 729 KB
Nombre de pages : 29
Date de publication : 16/10/2014
id=83




voir aussi exercices corrigés sur:
les Polynômes et Fractions rationnelles




extrait:
Soient dans R3 les vecteurs
Les familles suivantes sont-elles libres
On considère dans Rn une famille de   vecteurs linéairement indépendants            
Les familles suivantes sont-elles libres ?
L'ensemble   est-il un sous espace vectoriel de R4 ? Si oui, en donner une base
Chercher les relations de dépendance linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en
extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.
À quelle(s) condition(s) un vecteur appartient-il au sous-espace engendré par les
vecteurs ? Définir ce sous-espace par une ou des équations.
Soit   un espace vectoriel sur   et  x,y,z  et   une famille libre d'éléments de  , les familles suivantes
sont-elles libres?
Dans R4 , comparer les sous-espaces   et   suivants
sont-ils linéairement indépendants ?
les sous-espaces vectoriels de R3 . Montrer que  
Peut-on déterminer des réels  x,y pour que le vecteur appartienne au sous-espace-vectoriel
engendré par le système
des vecteurs
de R4 . Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.
est un sous-espace vectoriel de supplémentaire                  dans
muni des lois habituelles de l’espace
vectoriel R2 , est un R-espace vectoriel ?
1. Montrer que   est un sous-espace vectoriel de R3 . Déterminer une base de  .
2. La famille est-elle libre ? Est-ce que ?
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R3.
On admettra que F est un sous-espace vectoriel de R3.
1. Montrer que   est un sous-espace vectoriel de   .
2. Déterminer une famille génératrice de   et montrer que cette famille est une base.
3. Montrer que {    } est une base de  .
4. Montrer que {       } est une famille libre de   .
5. A-t-on .
6. Soit , exprimer   dans la base {       }.
3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant E .
1. Déterminer une base de E et en déduire la dimension de E .
2. Compléter cette base en une base de R4 .
exprimer u comme une combinaison linéaire de  b, c et d.
et déterminer une base de cet espace-vectoriel.
On admettra que   est un espace vectoriel.
Donner une base de   et en déduire sa dimension.
Déterminer une base de F.
Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt)F.
Donner une famille génératrice de E+F.
Déterminer une sous famille de libre qui engendre , en déduire la dimension de  .
2. Compléter cette base de E en une base de R4 .
trois polynômes de R2[x].
Pour tout  A,B et C réels montrer qu’il existe un unique polynôme de R R2[x].    
sont-elles linéairement indépendantes?
Soit   l’ensemble des fonctions vérifiant l’équation différentielle
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions.
Montrer que le système est libre et lié.